ABA-»B-», ACA~>C

Si Téquation Q = o a des racines multiples, soient a Tune d'elles, [A son ordre de multiplicité : on obtiendra, comme au n° 194, [A — I nouvelles intégrales, en prenant pour L des contours partant du point a et y revenant dans des directions convenables.

Enfin, soit \ le nombre des racines infinies de Téquation Q = o (ce nombre pouvant être nul); on aura

u — a (« — rt)* '** u—b et, par suite,

, 1 TT. eiu-¥-UX

zrze'^-^^ ^ (//. — a)«. (m — Z>)?. ...0,

le facteur 6 restant fini pour u = ce.

On verra, comme au n® 195, qu'il existe X 4- 1 intégrales correspondant à des lignes L ayant leurs deux extrémités à l'infini.

Ce résultat subsistera, même si X = o, auquel cas V serait de la forme

Les X + 1 intégrales ainsi obtenues, jointes aux précédentes, compléteront le nombre des intégrales requises pour former l'intégrale générale.

205. Nous allons appliquer la méthode précédente à l'équation

tQDATIONS UNftlltBS. 355

On aura, -Jjns ce cas,

R(tt) = (a/i + i)«, Q(tf) = ««+i, R(«)

Ç ^^l/ = (/H-i)l0g(M«-hl).

Nous aurons donc, comme solution de l'ëqualion proposée, l'intégrale

pourvu que l'expression

prenne la même valeur aux deux extrémités de la ligne d^intégration.

206. Avant de procéder à l'étude des solutions fournies par cette intégrale, il convient de donner quelques explications sur les fonctions eulériennes, lorsque leur argument est une quantité complexe quelconque.

La définition de T{z) par un produit infini n'est soumise à aucune restriction; elle donné, pour toute valeur de 2, une valeur unique et déterminée de r(.3), laquelle est toujours différente de zéro et reste finie, sauf pour les valeurs entières et négatives de 2, pour lesquelles elle est infinie du premier ordre. Mais, pour qu'on puisse considérer T(z') comme fonction de la variable imaginaire z, il faut encore établir qu'elle a une dérivée.

Or r(js) est un produit infini ayant pour (acteur général

n (/iH-i)*

Donc logT(z) sera donné par une série infinie S ayant pour terme général

log/i — log(/i -H s) -t--zlog(/i 4-1) — zlogn.

Prenant les dérivées des termes de cette série, nous aurons

^56 TROISlfcSIB PJIlTiB. — CHAPITRE IJ.

une nouvelle série S' ayant pour terme général

Hlog(/i-hi) — log/i.

Mais on a

log(n-t-i)-log«=r Ç=^

On étant une quantité comprise entre o et i.

Le terme général de la série des dérivées sera donc

et son module aura pour limite supérieure la quantité

Z désignant le maximum du module de z dans la région où Ton considère sa variation.

Les quantités Â/j ne dépendent plus de z et forment une série manifestement convergente. Donc la série S'est uniformément convergente dans la région considérée et sera la dérivée de log F (^). Donc r(5) = e'®'^^' aura lui-même une dérivée égale à S' r(;5).