La définition de r(z) par l'intégrale définie

T{z)= f* e-U^-^ dt

est bornée au cas où z est réel et positif. Mais il est aisé de la modifier, de manière à obtenir une expression de T{z) en intégrale définie applicable à toute valeur de z. Considérons en effet l'intégrale

e-'/*-» dt

prise suivant une ligne L partant de l'infini positif et y re-

EQUATIONS LINÉAIRES. 257

venant, après avoir entouré Torigine dans le sens direct^ comnie Tindique \'àjig, 4*

l'ig. 4-

Pour définir complètement cette intégrale, il faut préciser

quelle est celle des déterminations de la fonction t^~^ que

Ton adopte. Soit

t^=r. p(cos<p -4- I sin<p);

on aura, par déGnition,

Pour chaque position du point f, p est complètement déterminé; mais l'argument f n'est connu qu'aux multiples près de air; suivant celle de ces valeurs que l'on adopte, celle de f*~* variera.

Nous prendrons pour valeur de f celle qui varie de o à stc lorsque t se meut sur la ligne L. On aura, dans ce cas,

^ fe-U'—^ dt — {e'^'^ — i) T(z).

En effet, les deux membres de cette égalité sont des fonctions continues et uniformes de z. On sait que deux semblables fonctions sont égales dans tout le plan dès qu'elles sont égales le long d'une ligne déterminée. Il nous suffira donc de montrer que l'égalité a lieu pour les valeurs réelles et positives de z.

Dans ce cas, la ligne d'intégration L peut être déformée de manière à se composer ; i^ de l'axe des Xf de oo à s,

J. — Cours, III. 17

t étant une quantité infiniment petite; a^ d'un cercle de rayon e décrit autour de Torigine; 3® de l*axe des x de £ à 00.

Si e tend vers zéro, Fintégrale rectiligne / aura poir

limite

où l'on prendra pour ^*~' sa valeur réelle.

Cette intégrale est égale à — r(2).

L'intégrale suivant le cercle est nulle. Enfin l'intégrale de retour sera

^t9Cl(S-

f(«-i) r e'U*-^dt = e*'^'^T(z),

parce que la rotation autour de l'origine a multiplié /'"* par le facteur e^^'^^-*^— c^^".

L'égalité est donc démontrée.