ABA-«B
D'ailleurs les intégrales le long des petits cercles étant nulles, on aura
f H-/ ::^(etni>^,) / .
Mais, en vertu de l'hypothèse faite, ^ et i — t auront leur argument nul entre o et i; donc tP~^ et (i — /)y-* seront
réels dans Fintégrale / ; celle-ci aura donc pour valeur
V^^^'^^^t. II, n-» 186-187).
209. Revenons à l'intégrale / e'^{u^ -f- 1)" * du. Soient {fig- 6)
A, B des lacets joignant Tofigioe aux points critiques i et — I ; #
C uae droite joignant l'origine au point — -, situé a Tinfini dans la direction du point ^^;
Donc
TBOISIÈME PARTIE. - CRAPITBB II.
A, B, C les valeurs de Tintégrale prise le long de ce> lignes, en choisissant celle des déterminalions du radical
(w^-l-i) ' qui se réduit à -h i pour la valeur înîlîal'- 11=^0, ce qui revient à adopter, parmi les divers argu-
Fig. 6.
ments de la quantité u^-f- 1 (lesquels diffèrent les uns de> autres de multiples de iii) celui dont la valeur initiale est nulle.
On peut obtenir une première solution en prenant pour ligne d'intégration ABA"*B"*. L^intégrale correspondante étant
on voit, en supprimant un facteur constant, que
I,=iA — B
est une solution.
On obtiendrait d'ailleurs directement cette solution en prenant pour ligne d'intégration le contour fermé AB~', à Textrémité duquel la fonction Y reprend sa valeur initiale + i; car les deux facteurs exponentiels par lesquels
elle a été successivement multipliée sont inverses l'un de l'autre.
<ju, en développant les exponentielles en séries,
V ^^^ — . / a'»(a«^i)""?û?zi / f^'"(//*4-i)"'"»^« •
Si m est impair, les deux intégrales entre parenthèses ont évidemment les mêmes éléments et se détruisent; si m est pair =2[x, ces éléments seront égaux et de signe contraire; on aura donc plus simplement
»-i-i) * du.
Posons u= it^^ il viendra
jV désignant le lacet qui joint Torigine au point i, t
étant réel et positif ainsi que (i — t) lorsqu'on va de o à 1.
Dans ces conditions, Tintégrale suivant A' sera égale à
SICi
D'ailleurs e ^ ^"^ = — e^^^'". En outre, si dans la formule
26a TBOISIËVB PARTIE. — CHAPITRE II.
démontrée au t. I, n** 38o, on pose m =r= 2, 5 = jjl-4- J, il viendra
Sdbslituant ces valeurs, il viendra finalement
SIO. Nous obtiendrons une seconde solution I^ en iotég;rant suivant une ligne L partant du point et y rêve-
nant après av( ir enveloppé dans le sens diiect la partie
de Taxe des / comprise entre — i et +i {/ig» G); car
e"^{U'-{'ij ' s annule au point •
Posons
d'où
»2ATt/
et, par suite,
k étant un entier choisi de telle sorte que les deux membres de Téquation (i3) aient le même argument lorsqu'on donne à ^ sa valeur initiale +00 et à a la valeur correspondante
Nous adopterons pour arguments de / et de 1 H- ~ ceux
ÉQUATIONS LlKfiAIRBS. 26i
dont ia valeur initiale est nulle; pour argument de .r celui
ff 3 ?r qui est compris entre et — > pour argument initial de
u^ -f- I celui qu'on obtiendrait en faisant décrire à ii la ligne C et prenant zéro pour Targument correspondant à Torigine.
11 est clair que, lorsque u décrit la ligne C, Targument de l'un des facteurs u — i, u f- i augmente, l'autre diminue. D'ailleurs, chacun d'eux varie d'une quantité inférieure à ic : donc l'argument initial à adopter pour m' -H i sera compris entre — ir et -f- n.
On devra donc déterminer Ar, de telle sorte que l'argument
du second membre de l'équation (i3) soit compris entre — Tfc et — f- 7î.
Si X est à droite de Taxe des y^ argo: sera compris entre
et -, et l'on devra poser A* i- o; si a: est à gauche de
cet axe, arg^ sera compris entre - et — , et l'on devra
poser k -— i.
Cela posé, faisons u ^-^ dans l'inté^rrale
elle deviendra
t ayant pour valeur initiale et finale -t- oo, et son argument variant de o à 27: le long de la nouvelle ligne d'intégration. En supposant, ce qui est évidemment permis, que le module de t soit plus grand que celui de x tout le long de cette
ligne, on pourra développer le facteur (»-+--,) par la
a64 TROISlfeflB PARTIF. - CHAPITRE II.
formule du binôtnc, et Ton aura ainsi
Zji^([*-^i)r(/i-ix-^i)J
Z'HfiL+.)r(«-(.-^i)^'' '^^^'^ ^•''-
On a d'ailleurs, en changeant |jl en n — |Ji — -j dans la formule (i i),
T(7.n - -o.xk) 2t/»-«fi-i
TT
,^î«-ljl-t ^
V^ r({x — /i-hi)sin(/i -ji)ir
2siu/ir r(|x — /i-hi)
Enfin
^mi// ,
i jieit'«(i -f- e'^ï'»).
2 sin/ir Oïl aura, par suite,
