IX .'-V 'a
iri (i -4- e"^'") ^(î/i-DArlt/X/» +-1)711
211. Los deux solutions que nous venons d'obtenir sont donc, à des facteurs constants près, égales à x^''J„{x) ei .r~"J„(x), ce qui confirme un résultat déjà obtenu an nol91.
On peut trouver deux nouvelles solutîonsls etl4 en intégrant le long des lacets D et E joignant respectivement les points
critiques i et — i au point iJ^ff' 6); car e'*^{u^ + 0 *
s^annule en ce dernier point. Nous préciserons le sens de ces intégrales en adoptant encore pour argument de w'H- i au commencement de chacune de ces lignes celui qui est compris entre — u et -4- «.
11 est d'ailleurs aisé de déterminer les relations qui lient ces nouvelles intégrales aux précédentes. En effet, Targument de m^+i reprenant sa valeur initiale lorsqu'on décrit le contour AB *, ce contour sera équivalent au contour C-*AB-«C = C-'AC.C-«B-«C qu'on peut aisément déformer en DE~*. L'intégrale relative à ce dernier contour est I3 — I4 ; on aura donc
(i5) li=I,-I*.
D'autre part, le contour L peut évidemment être transformé en DE ou en ED suivant que est à droite ou à
j;auche de Taxe des y. Dans le premier cas, x sera à gauche de cet axe, et l'on aura
(16) Il =13-+- e(»'»-*)'^'l4.
Dans le second cas, x sera à droite de cet axe, et l'on aura
212. Proposons-nous de déterminer une valeur approchée de Ij et de I4 lorsque le module de x est très grand. Nous admettrons, pour plus de simplicité, que /i a sa partie réelle
plus grande que -Le cas où elle serait <^ se ramène
immédiatement à celui-là, car, en posant I = ^~2"K, l'équation transformée en K ne diffère de la primitive que par le sliine de n.
Dans l'hypothèse admise, les intégrales prises le long de cercles inHniment petits décrits autour de i et de — i sont nulles, et Ton aura évidemment
r, et r^ étant les intégrales prises suivant les droites P et Q
qui joignent respecllvement les points «et — i au point
Soit P' une droite menée à partir du point i et faisant
avec la droite P un ande X inférieur en valeur absolue à --
L'intégrale suivant un arc de cercle de rayon infîni tract'entre P et P' sera nulle; car e"^ tend vers zéro tout le long de cet arc plus rapidement qu^une puissance négative quelconque du ra^on. On pourra donc remplacer Tintcgrale suivant P par rintégrale suivant P.
Or on a sur cette dernière droite
JL' X
t étant réel et variant de o à oo.
On en déduit
k! étant un entier à déterminer de telle sorte que les deux
membres de Téquation aient le même argument le long de F.
Nous adopterons, comme précédemment, pour arguntienl
de X celui qui 'est compris entre et — -? pour arguaient
de t celui qui s'annule sur P', pour argument de i H
celui qui s'annule pour ^ = o.
Considérons sur les deux lignes P et P deux points /?, f' infiniment voisins du point i\ l'argument de u 4- i aura sensiblement la même valeur en ces deux points; et la valeur de l'argument de m — i au point /?' surpassera de \ sa valeur au point /?. Or su point/? Targumcnt de w^-^-i est compris
fiQUATiONS LINÉAIRES. 267
entre — it et -!- tz. Sa valeur au point />' sera donc comprise entre - u -r ^ et it-f-)^.
Mais Targument du second membre de la relation (iS) au point />' est égal à
— - -h X — argj? -h 2 A'tc.
Pour qu'il soit compris entre — 7t + Xelii -H X,il faudra poser //^^o ou A''^!, suivant que Targument de x sera compris
entre et - ou entre - et — • On aura donc, en tout état
de cause, k'^^k, le nombre k étant celui qui figure dans
l'expression (i4) de l'intégrale L.
Prenant donc t pour variable indépendante au lieu de u et
remarquant que e * =rr /, il viendra
Il désignant l'intégrale
Or on a
R;7c étant un reste dont nous aurons à discuter la valeur. Donc
le reste U étant donné par l'intégrale
!ï68 TROISIÈXB PARTIE. — CHAPITRE II.
Mais
n'csl autre chose (|ue l'intégrale
e~* z * az
prise le long d'une droite allant de l'origine jusqu'à Tinfinî avec un azimut X. L'intégrale de cette même fonction étant évidemment nulle sur un arc de cercle de rayon infini, compris entre cette ligne et l'axe des j;, on pourra remplacer la ligne d'intégration par l'axe des .r, ce qui donnera, pour valeur de l'intégrale,
r(/i-f-fA-4-A).
Nous aurons donc, pour expression approchée de H, la série
'^ Y"'r(/i+i)r(/i-i-|x4-l) fj Y
et nous n'aurons plus qu'à trouver une limite supérieure du module de Tinlégrale U, qui nous permette d'apprécier l'erreur commise.
213. Or e~* ''e^' a pour module ^-'«o*^; et, si nous supposons /i r-= a H- ^/, la quantité
aura pour module
Pour obtenir, d'autre part, une limite du module de Ra», posons
ÉQUATIONS Ll.NÉAIRES. 269
/{t) et ç(/) étant des fonctions réelles. La série de Maclaiirin, appliquée à ces deux fonctions séparément, donnera
}in
un
0 et Q' étant compris entre o et i; on aura donc, pour Texpression du reste,
Or on a
et, par suite,
|F'"(^)l;l/"(0, IF-coI^It'^COI
Soit donc M la valeur maximum du module de F'"(/) entre o et 00; on aura
. \f-{Ot)\ïW, i9-(Ô'0l<M, d'où
|Rml< MV^2.
D'ailleurs
ety si nous supposons
a:=: p(cos®-h isin<{>)=i pe''P,
OD aura
iH =1 sin(X — ©) -H i — ces (X — 9).
Le module de cette expression
/sin{X — ©) /*
tîJO TROlSifcMB PARTIS. -- CHAPITRE 11.
H pour valeur minimum
|cos().— 9)1
correspondant à ^ = 2 p sin(X — ©), et son argument ^, qui est nul pour / = o, sera constamment compris entre — ir vi
Cela posé,
a pour module
oc fn Q m
Si nous avons poussé ce développement assez loin pour que m soit >> a — ^, le maximum de cette expression correspondra au minimum de r et sera au plus égal à
cos(A — o) ' erJPl.
On aura, par suite,
Yin + i)
(ap)
cos(X — 9)1 * e'^lPl.
214. Nous obtiendrons donc pour limite supérieure du module de U une expression de la forme
K^ico^x-j))i^ r.-w.--;--
,„ f e-^'^^t * dt.
K désignant une constante indépendante de x et de X. D'ailleurs, en posant /cosX = 2, on aura
(cosX)""»"'"^' r(a-+-|-f-m)
a-t---»-ifi
(cosX) «
et enfin, par suite,
U||Kr(«H-i-rm)
Le second membre contient Tindéterminée X, variable entre — - et — et dont nous pourrons profiler pour rendre
minimum le coefficient de Nous aurons ainsi
Aç étant une fonction de <p évidemment finie et continue. Soit A son maximum; on aura
La limite ainsi obtenue pour le module du reste U est de l'ordre de --;> tandis que les modules des termes de Tex-
pression approchée de T, sont de Tordre de --) où p. <; m;
circonstance qui justifie notre formule d'approximation lorsque p sera suffisamment grand, toutes choses égales d'ailleurs.
215. Un procédé analogue permettra de trouver Id valeur approchée de I'^. On substituera à la ligne d'intégration Q une autre ligne d'intégration Q' faisant avec elle un angle \
inférieur à - en valeur absolue. On aura, le long de cette ligne,
27^ TROISlfeMR PARTIE. — CHAPITRE II.
les arguments des deux membres étant ici égaux, comme étant tous deux compris entre — « -f- X et it -h X. Ou aura, par suite,
H| désignant Tintégrale
et enfin, en développant la puissance du binôme,
Ui étant un reste dont le module a pour limite supérieure
'-^y A| désignant une constante.
216. En nous bornant au premier terme des développements de Ig et de I4, nous aurons pour ces intégrales les valeurs asymptotiques suivantes :
/ I \ ir/ i
— in — ) — n — .
I,^ (I -h e^^^O e(««-ïM7ri !l. ^ L r(/i -hi).
/ i\ Kl I
On en déduit, pour la fonction la valeur asymptotîque
ÉQUATIONS LINÉAIRES. 2j3
Si X est à droite de l^axe des jy^ on aura A: ^^ o, et cette expression se réduira à
5'îl est à gauche, on aura Xr^^i, et l'expression de viendra
Au moyen des relations (i4) et (17) qui lient J/i(:r) à Ij et cette dernière intégrale à I3 et I^, on trouvera de même la valeur approchée de J,i(x).
217. Les deux valeurs asjmptotiques trouvées ci-dessus pour Jn{^) coïncident si n est la moitié d'un nombre entier.
Soit, en effet, n = m -\ Elles se réduisent à
i/- cos Lr — (m -h I ) - •
D'ailleurs, dans ce cas, les développements trouvés pour H cl Hi se limiteront d'eux-mêmes, le dernier terme étant celui on y,^- m] H et H| seront donc des polynômes entiers
en -, de degré m et conjugués, dont le premier terme
est r(m).
Soit
Hi==r(m)ri-a, 1-;-...-^-, -,)'na^^ /M J. J. — Cours, III. 18
374 TROISifclB PARTIE. — CHAPITRE II.
Les autres formules donnent pour n = m-h -i
if
M<"=7niys(-:) '('•-'■')
~ V '^•^ L 2iT(m) J
ou, en substituant les valeurs de H, H|,
^ l ces Lr— (m -t-i) - ( I— ^ -I- ^— .
sin|a?-(m-t-i)-|| — ^-i-^...;
218. M. Kummer a montré que l'intégrale générale de Téquation
-^^V^ -~ ^^y = «0 -+- «i^ -H . • . -^ a(i ia:î*-»
s^exprime par des intégrales définies multiples.
Soit, pour fixer les idées, jx = 3, Posons, pour abréger,
— -t- a* uvw X
On a
^ — (— (^"-* -+- a^uwo?) X,
fiQUATIONS LINÉAIRES. 2^5
ei, par suite,
