Soit
une équation différentielle linéaire dont les cocfficient> soient des fonctions elliptiques de m, aux périodes 2to, et 2CO2. Supposons que ses intégrales soient uniformes, cèdent il est aisé de s'assurer en les développant en séries. Nou> allons donner le moyen de les déterminer.
Soient <pi (w), . . -, ^«(m) un système de n intégrales indépendantes. Si nous changeons a en //-Hacoi, Téquation transformée, laquelle est identique à l'équation primitive, admettra comme système d'intégrales indépendantes
tQUÀTIONS LIÏIÉAIRBS. 377
<^cs nouvelles fonctions seront donc liées aux intégrales primitives par des relations linéaires de la forme
les c étant des constantes dont le délcrminant n^est pas nul.
Le changement de u en w-f-2o>i dans les intégrales C|, ..., 0,1 revient donc à opérer sur ces intégrales une substitution linraire, que nous désignerons par S.
On verrait de même que le changement de u en 1/4- 2o>2 «équivaut à une autre substitution linéaire S'.
Enfin le changement de u en w -f- 20)1 + 2CO2 équivaudra à opérer successivement la substitution S suivie de la substitution S', ou la substitution S', suivie de S. Les deux opérations S et S' satisferont donc à la relation
. O SS'-rS'S.
220. Proposons-nous de simpli6er l'expression des substitutions S et S' en remplaçant ^4, . . ., o« par un autre sjstème d'intégrales indépendantes.
Soit s Tune des racines de Téquation caractéristique de S ; il existera des intégrales que S multiplie par 5; soient y, ^^, . - . celles de ces intégrales qui sont distinctes. La forme i^énérale des intégrales qui jouissent de cette propriété sera cLy -4- oL^y ^ . . . .
Soit Y la fonction que S' fait succéder ky] SS' remplacera y parsY; S'S doit produire le même résultat; or S' remplace y par Y; donc S doit transformer Y en 5Y; donc Y «st de la forme cay -\- 7.'y' -^ ....
La substitution S' remplaçant ainsi chacune des intégrales y, y', • . . par une fonction linéaire de ces mêmes intégrales, il existera au moins une fonction linéaire x de ces intégrales que S' multiplie par une constante s'.
Nous avons donc prouvé qu*il existe au moins une intégrale X que S et S' multiplient respectivement par des constantes s et s' ,
2yS TROISIKMB PART». — GHAPITHB II.
221. Nous allons démontrer qu^on peut déterminer un système d'intégrales indépendantes
y il
i J'i,/i> J'ji» • • • » ^1,'t»
Z\ij •••) ■«»i,/it,» -^îl» •••» *»î,/»t>
rxi,
tel que les deux substitutions S, S' prennent la forme suivante :
*U> • • • I ^ikt • • • • » • • • 7 • ••> •
^I^lA-. • • • > ^1 ( Jit -^ Y/a), . .
S'zrr
yi*j
^iJtA-, • • • • »
* -si {jik
^ik)t • • •
*i) s\ ; ^2> ^2 î • • • étant des couples de constantes différents; Y/A, Yj.y^ des fonctions linéaires de celles des intégrales y dont le premier indice est <^ t; Z,>, ZJy^ des fondions linéaires de celles des intégrales z dont le premier indice est <C i^ etc.
Celte proposition étant supposée vraie pour les substitutions à moins de n variables, nous allons montrer qu'elle subsiste pour deux substitutions S, S' à n variables.
On a vu qu'il existe au moins une intégrale x que S et S' multiplient respectivement par des constantes 5, s'. En la prenant pour intégrale indépendante à la place d'une des intégrales primitives, telle que cp,^, S et S' prendront les formes suivantes :
les diverses quantités <E>, 4>' étant des fonctions linéaires de
Désignons par 2, S' les substitutions k n — i variables
ÉQUATIONS LINfiAlBES. 279
L'égalité SS' = S'S entraînera évidemment la suivante :
On pourra donc, en appliquant le théorème à ces substituiions, les mettre sous la forme (3). Le même changement dMnlégrales indépendantes, appliqué à S, S', les mettra évidemment sous la forme
J^iifr» ••, y/A-, . • Styik^CiJt^, •••» Si{yik-^^ik)-^Cik^9 ••• ^i'.» •••1 ^iki ••• SlZ^J^-t-d^/e^^ •.., s^(Z{j^-{-Zij^)-hdij^a:y ...
a; SX
JiJky •••>7/A» ... s\yik-^c\iX, . . ., s\{yiji.~h\'if^)~\-c'ijga:, ...
'l'r> •••» -5/'., ... S^Z^j^-hd^j^X, • > . , <$2 (^<>t — Z/A-) ~^"^U-^> •••
jc s! X
Prenons pour intégrales indépendantes, au lieu des y, les suivantes :
les substitutions S, S' conserveront la forme précédente, sauf le changement de
Cite en (5 — 5,)a/A — 5,A|/t + C|A, c\^ en (5' — 5', ) dik — s\ k!i,, -\- < \t,,
Kifçy A[-^ étant ce que deviennent Y/a, Yj^^, quand on y remplace les y par les a correspondants.
Cela posé, si 5^5^, on pourra évidemment disposer des a de manière à faire disparaître tous les coefficients cm* Les coefficients d^^ disparaîtront d'ailleurs en même temps, en vertu de l'égalité SS'= S' S. Égalons en effet les coefficients de X dans les expressions que SS' et S' S font succéder à yix\ il viendra
(4) s^{c\k-^ Ci,,) -^ s! Cik= sf^(^Cik-\- Cik) -^sc'ikf
CiA, C;t étant ce que deviennent respectivement Y^^^ et Y/>k
qSo troisième partie. — CHAPITRE II.
lorsqu'on y remplace les j^ par les c ou par les d correspondants. Si les Cih sont nuls, ces relations se réduisent à lâ
forme
{Sx — s)ca-^s^C'ik-^o,
Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport aux c\f^y et leur déterminant, étant une puissance de 5| — 5, n'est pas nul. Elles ne peuvent donc être satisfaites qne si les c\f^ sont tous nuls.
Si5'^5p on pourra de même faire disparaître les c^^\ et les relations (4) montrent que les Cik disparaîtront en même temps.
Si donc le couple de constantes 5, ^ ne se confond avec aucun des couples 5|, s\ ; 52, ^J,; . . ., on pourra faire disparaître tous les coefficients C/a, c\f^\ t/,*, d\/.\ . . .; et S, S seront ramenées à la forme requise ; aux diverses classes d'intégrales y^Zj ... viendra seulement se joindre une classe nouvelle, formée de la seule intégrale x. Soit, au contraire. ,s' =1:: 5| , 5'=^ s\ ; on pourrafaire disparaître les coefficients dif^^ (l'-f^^ ... ; et l'on n'aura qu'à poser cm = *i /??<>> <^/a=^ '^'i "'i/i pour ramener S et S' à la forme requise, la nouvelle intégrale X rentrant ici dans la catégorie des in,tégrales j^i*, qui appartiennent à la classe des y et ont l'unité pour premier indice.
222. Admettons donc que les intégrales indépendantes aient été choisies de manière à ramener les substitutions S, S' à la forme (3). Considérons en particulier une des classes formées par ces intégrales, telle que y^, . . . , yik^ .... Le changement de z^ en w + 2 o>, ou m -h 2 coa leur fera éprouver les substitutions partielles
lesquelles devront évidemment satisfaire à la relation
ÉQUATIOirS LINÉAIRES. 28 1
On a, par définition,
la sommation s'étendant à toutes les valeurs du premier indice / qui sont <^ /', et aux diverses valeurs de m correspondant à chacune de ces valeurs de /.
On voit aisément que <t(t' remplace en général j^iVt par
s,s\ ^yiu ^- Y,* + Y;*-^ ^l, „ ('*'* 2, „-*'""-^''"')] '
la sommation par rapport à /', m' s'étendant aux valeurs de /' inférieures à / et aux valeurs correspondantes de m'.
La substitution ff'o-reniplacera r/Aps'r une expression analogue, où les coefficients a et 6 seront permutés.
Ces deux expressions doivent être identiques, en vertu de (6). En égalant les coefficients des termes en yt,„-, on aura les relations
la sommation s*étendant à toutes les valeurs de / qui sont <C i et > /', et aux valeurs correspondantes de m,
223. Réciproquement, soient o-, (j' deux substitutions de la forme (5) et satisfaisant à la relation (6) ou aux conditions équivalentes (7). Nous allons montrer qu'on peut construire des fonctions y^, . . .^yik-qiù subissent ces substitutions lorsqu'on accroît la variable u de 2 0>| ou de 20)27 et nous déterminerons la forme la plus générale de ces fonctions.
Considérons à cet effet la fonction doublement périodique de seconde espèce
Elle admet les multiplicateurs
38a TROISIÈNR PARTIE. — CHAPITRE II.
qui se réduiront respectivement à 5|, 5',, si Ton détermine ù. a par les équations
2(1), 6 -h 2r\^a = log5,, awj6 -i- 2T)ta=: logj',.
On peut toujours y satisfaire, le déterminant
étant égal à zh 2Tzi, Posons
7/ A ■ G ( M ) Xtk.
Lorsqu'on accroîtra u de 20)4 ou de 2(1)3, les nouvelles fonctions Xi fi subiront les transformations
(t) I ^iAr> ' • ' ■> '^iky • • ' y «^^iji., . • . , ^/Jt ~r- A/Jt, • • • ;»
("^ ) 1 ^1*» • • • » •^"lA-, • • • » ^lA-> • • • > ''^ik~^ ^1*' • • • |i
X|A, X|^ étant ce que deviennent Y/y^, Y^.^ lorsqu'on y remplace les jK«> par les Xik» Les substitutions t, t' seront échangeables entre elles.
Il reste à obtenir l'expression des fonctions Xik-
