I • ^ • ■ .AT
part, nous introduisons comme nouvelles inconnues les d*^-
rivécs partielles d'ordre p -\- k des fonctions «/, dont le
nombre est m—^ ^-t Ce nombre serj
I .2. . .(/? -I- A) inférieur au précédent, dès que A' commencera à satisfaire à
rint'iîalité
A partir de ce moment, le nombre des équations successivement obtenues croîtra plus vite que celui des inconnue? et finira par le surpasser. Eliminant alors ces inconnues, on obtiendra une ou plusieurs relations ^ = o, ^, = o, . . . entre les variables Xi, * . .y Xn] celles-ci étant indépendantes par hypothèse, on voit que les équations données seront incompatibles, à moins que ^, ^i, ... ne soient identiquement nuls, ce qui donnera autant d'équations de condition nécessaires pour que les équations F| = o, ..., F/=o puissent subsister simultanément.
235. On voit de la même manière qu'un système de m équations aux dérivées partielles
entre Ti , . . . , a:» et m fonctions W| , . . . , Um peut en général être ramené à un système d'équations
* iz.- G, *,--io, ...
ÉQUATIONS AV\ DÉRIVÊRS PARTIELLES. 3o3
TIC contenant plus qu'une seule fonction inconnae f/| ; car, en joignant aux équations proposées leurs dérivées partielles successives, il arrivera un moment où le nombre des équations obtenues surpassera celui des fonctions <^2, . . . , 2/;it et de leurs dérivées partielles. L'élimination de ces inconnues donnera de nouvelles équations <I> = o, 4>| = o, . . , entre Xij . . . , Xny Ui et ses dérivées partielles.
236. Considérons un système d'équations aux dérivées ]iartielles
entre les variables indépendantes x^, . . ., x,i ei m fonctions 1^1, • • • , Wi»; et soit rk Tordre des dérivées partielles les plus élevées de la fonction u^ dans ces équations. On pourra, en remplaçant x^^ ..., x,t par de nouvelles variables indépendantes
Iy\ =^ ^11 J;| -h. . . -h C^n^nt
choisir les constantes c, de telle sorte que chacune des dc-
rivées -r — -7 • • • > -^^ — > • • • heure dans les équations trans-
formées.
Kn effet, on aura
dx, -'Jj, --'dr
Chacune des dérivées partielles des fonctions W|, . . ., Um par rapport aux variables ^i, ..., oT/i s'exprimera donc linéairement au moyen des dérivées partielles du même ordre prises par rapport aux nouvelles variables j^i , . . . , y,f
Posons, pour abréger,
Uune au moins des équations données , par exemple
Zo\ TR01SIÈXE PARTIE. — CHAPITRE III.
F| = o, contiendra des dérivées pariiclles d'ordre /"i de id fonction Ui ; soient
ces dérivées partielles. La dérivée -v— ^ sera de la forme âF
G|, G2, ••• n'étant pas identiquement nuls et ne contenant, ainsi que Go, aucune dérivée de Ut d'ordre > r^. Transformons cette équation par la substitution (5j; fi
viendra
^F, âF, ÔF,
R' étant linéaire par rapport aux dérivées partielles d'ordi Ti -J- I de la fonction Ui, autres que celle que nous avons mise en évidence.
Les autres dérivées d'ordre Ti H- i qui (igurenl dans Tei-
âF pression de ■—■ donnent un résultat analogue.
On aura enfin
Fo, Fi, ... ne contenant les nouvelles dérivées partielles
de Ui que jusqu'à l'ordre r^,
ôF On aura donc, pour transformée de y-^> l'expression
<JF, ■ dF,
ÉQUATIONS AUX DfiBIYÉES PARTIELLES. 3o5
R ne contenant pas la dérivée -^ ' ,. ^/ « D^ailleurs le coeflicient
de ^. ^^ ne peut être identiquement nul; car, en Texprimant au moyen des anciennes variables x, il devient
et comme G|, G2, ... ne sont pas identiquement nuls, il ne peut évidemment s'annuler que pour des valeurs particulières des constantes c. En ayant soin d'éviter ces valeurs, on
voit que
ÔF^ dF,
contiendra la dérivée ^ .. ^,S ce qui serait évidemment impossible, si F| ne contenait pas la dérivée '\—- •
237. Nous nous bornerons à considérer le cas où les équations transformées ont pour premiers membres des fonctions
distinctes des dérivées -,—7-' ••> "^ '^ - En les résolvant
par rapport à ces dérivées, nous pourrons mettre le système sous la forme normale
d^i Ui ()'*«i u
<I>|, ..., ^m étant des fonctions des variables indépendantes Xn •••? JK/i,des fonctions u^n ..., Um et de leurs dérivées partielles jusqu'à Tordre r^, ..., r^ respectivement (celles de ces dérivées qui figurent aux premiers membres étant exceptées).
Théorème. — Les quantités y i, ..., yn^ W|, ..., Um, ...,
^ ^^^ a — ' ' " qui figurent dans les fonctions ^i, ..., ^m
étant traitées comme des variables indépendantes, soit J. — Cours, m. 20
3o6 TaOISIÉME PARTIE. — CHAPITRE III.
a^,...,a,„ ftio-."» •••» ^ITo...^ • •.ôk.a,..,! ^^^ un système qu^l conque de valeurs de ces variables aux environs diiqu-
O, , <^„i soient développables par la série de Taylur.
Soient d^ autre part
des fondions que/conques de y^, .. ., y m développabUpar la série de Taylor aux environs du système de valeurs a^y . . ., am, ^^ telles en outre que Von ait en ce point
^ ui ^ ' T/ U
On pourra déterminer, et cela d\ine seule manière^ un système de Jonctions «4, . . ., Um des variables y ^ , - . -, Vb, développahle par la série de Toylor aux environs tin point as, . . ., a,», et qui satisfasse aux équations (6) ainsi qu!aux conditions initiales suivantes :
^/i ^' ' c^JÏ
Cette proposition fondamentale est due à Caachy. Mf * dr Kowalewska en a donné une démonstration élégante, que nous allons reproduire.
238. Considérons tout d'abord le cas où les équations aux dérivées partielles proposées sont du premier ordre, linéaires et homogènes par rapport aux dérivées partielles, et ne codtiennent pas les variables indépendantes, de telle sorte que le système (6) se réduise à la forme
(iz= I, 2, . . ., m; A: = i, 2, . . ., m; /=2,...,/i), où les G sont des fonctions de i/i, . . . , Um*
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Zqt]
L^énoncé du théorème général se réduira alors au suivant :
Soient b\ , . ,^ b"^ un système de valeurs de u^, . . ., Umj a,ux environs duquel les fonctions G soient dés^eloppables par la série de Taylor; a<, ..., an d^ autres constantes quelconques. Soient^ d^ autre part j cpi, ..., ç^ des fonctions ^^^ yi-i •••» //!> qui se réduisent respectivement à 6*, ..., fe"' pour y2= a-î^ ..., yn= ûf«, et qui soient développables par la série de Taylor aux environs de ce système de valeurs. On pourra déterminer d^une seule manière un système de fonctions «i, . . ., Um des ^variables y{^ , . -^ yny dévcloppables par la série de Taylor aux environs du point y^=z ax^ , . ,^ y,iz=:z an^ qui satisfassent aux équations (8), et enfin se réduisen t respectivement àoi, . . . , ©m pour y ^ = a^ ,
Psous supposerons, pour simplifier récriture, que ai, ..., a/tj b\ . . ., 6"* soient nuls, ce qui ne nuit pas à la généralité de la démonstration, car on pourrait au besoin prendre j)Our variables indépendantes j^i — a,, ..., yn — an et pour fonctions inconnues £/| — 6', ..., u^ — b"*; enfin, considérer à la place des fonctions <pi, ..., Om les fonctions o, —6', ..., ^m— b"*.
D'après les hypothèses faites, les fonctions G^^ sont déveioppables en séries, de la forme
(9)' Gl,:iz^Aili....aî.i/;«....
Ces séries étant convergentes tant que les modules de u^. (i'2j • •• seront assez petits, on pourra déterminer deux constantes M, r, telles que Ton ait
I A ikl f = ^
et, a fortiori,
/,^x \ Kikt ,^(«t -^«T-H ...)! M
» « I ^ a, ! a, 1 . . . /.ai-Haa-+-...
On aura de même
3o8 TROISlfeVB PARTIE. — CHAPITRE III.
et Ton pourra déterminer deux constantes N, p, telles que l*on ait
Les fonctions cherchées 2/|, ..., Um^ devant être développdl)les suivant les puissances de^r,, ,.,, yn pourri = o, seront de la l'orme
(12) "/— ?i -^ ?ii7i -+" ?ii.rî -^ . . . ,
<?«ij ?i2> ••• étant des séries qui procèdent suivant les puissances de ^2, ,.., V/i.
Remplaçons, dans les équations (8), les fonctions G^/, pui^ les fonctions Ui par les développements (9) et (12), et égalons les coefficients des mêmes puissances de^i dans les deux membres; nous obtiendrons, pour déterminer les coefGcient« P/i * • • •» Ç/fjL> • • •? une série d'équations de la forme suivante :
Fi ii+« étant une somme de termes dont chacun est le produit: 1° d'un entier positif; 2** d'un des coefficients A ; 3° d'un produit de séries cp dont le second indice ne surpasse pas }i: 4" d'une dérivée partielle de l'une de ces fonctions ç.
Les formules (i3) fourniront, par voie récurrente et sans ambiguïté, les valeurs des diverses fonctions cp/ji sous fornit' de séries procédant suivant les puissances de r^, — , y^, chaque terme ayant pour coefficient un polynôme formé avec les coefficients A, B et dont chaque terme est affecté d'un facteur numérique positif.
Nous trouvons ainsi une solution unique; mais, pour prouver qu'elle est acceptable, il reste encore à établir h convergence des séries obtenues.
239. Or il est clair qu'on diminuera les chances de convergence en remplaçant les coefficients A, B par les limites supérieures (10) et Ti i) de leurs modules; mais nous allons
ÉQUATIONS AUX DÉRITÊBS PARTIKLLES. 809
prouver que, même dans ces conditions défavorables, la convergence subsiste lorsque ^«, ...,^/i sont suflîsamment petits. On a, en elTet, dans ce cas,
et de même
en posant, pour abréger, jKar- • . . H- J'w =^ ^.
Les équations aux dérivées partielles deviendront donc
dui
M Y duk
et les conditions initiales seront
<i5) Posons
w/— -- pour/, =10.
«/l=:...= W^=:tj;(j,,0.
Les équations (ï4) et(i5) se réduiront aux deux suivantes
àr^
min- ' 1 ) -r-
^——~ pour7ir= p — i
Or l'équation (i6) étant mise sous la forme
( I 1 ) L Mm(/i— i) .- =0,
son premier membre est le jacobien des deux fonctions i/ et
3lO TROISIÈME PAHTIB. — CHAPITRE III.
fi f- j t -r-Mm(n — 0^<- ^'^® équivaut donc à la rela-
tion
^i^^f4.Mm(/i-i)j,=zF(^),
F étant une fonction arbitraire. Cette fonction sera détermi née par la condition (17), laquelle donne
ou, en posant
— P, d ou t:=z —^ »
F(r)— I ^rr^
Donc ^ sera déterminé par l'équation
Les deux racines de cette équation se réduisent respective-
ment à zéro et à — pour r^ = o, i = o. Aux environs de ce svs-
tème de valeurs, elles sont développables en série convergente suivant les puissances de y^ et de t. Prenant celle de ces deux séries qui s'annule pour j^| = o, ^ = o, on aura la fonction cherchée ^(jKm ^)î dans laquelle on n'aura plus qu'à substituer r=^2 + ' • 'H-JKrt pour obtenir les développements de Ut, . . . , Um^ qui seront évidemment convergents tant que les
modules des variables y seront moindres que j R dt*-
signant le rayon de convergence de la série ^ (yt , t) par rapport aux variables j^i et t,
240. La démonstration du théorème général du n® 237 se ramène aisément au cas particulier que nous venons de discuter-
ÉQUATIONS AUX DÉRIYÉBS PARTIELLES. 3ll
Prenons, en eflet, pour variables auxiliaires les dérivées partielles
qui figurent dans les équations (6) et, pour plus de symétrie, posons en outre £/|= Po,o,...' Les équations (6) et (7) deviendront
( i8) ^ri,0,...,0^^*/(/l> • • 'fynfPo.o,.. > • • •» /^a„B, ...» • • •)»
(19) />a..o,o.... — ??' pour/, = ai et a, - : o.
Ces dernières équations, dérivées par rapport à Vo» •••? ^/i? donneront plus généralement
( 20 ) pk^oL a, = ^srz ;)ir-7- P^^^^ 7i ^- «1 et «^ < r/
et, par suite,
/?«,.«,...,«„ — ^a.,a a„ pour J^i — fli, . . . , /;,— a^,.
Enfin, si l'on pose y^ = a^ dans les C({uations (18), il viendra
(21) A'n,o.o,...==*.(«i,--Mr»>?n---> J^^ pourr — a,.
Aux équations (1 8), (19), (^^o)» il faut encore joindre celles qui définissent les dérivées partielles />«„«„..,«„? à savoir
et
(^3) pU....^.:^ (^V. -<^V:^ s. ,.+...+ a„.>0.
Les relations (20) et (21) expriment d'ailleurs que les équations (23) et (18) sont satisfaites pour ^, ^i^a,. En tenant compte de cette condition, on pourra évidemment remplacer ces équations (23) et (18) par leurs dérivées partielles par rapport à y^ .
3 ta TIOISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE III.
On trouve ainsi, en supposant a2]>o par exemple. Si tt] était nul, mais as ^ o, on trouverait de même
el, enfin, si a2, . . . , a„4 étaient nuls, d'où a^ ^> o,
/r^X\w ^Po^n^ tt, ^/>a,-n.o.-..^^-i
Prenant enfin la dérivée partielle des équations (i8) par rapport à^i, et substituant dans le second membre aux déri* vées partielles des p leurs valeurs (aa), (a3'), (aS"), ..., ('23"'), il viendra
àp
àfn
241. Nous avons ainsi remplacé le système des équations (6) et des conditions initiales (7) par celui des équations (22), (28 y, (23)", ..., (28 y et (24) et des conditions initiales (20), (21). Nos nouvelles équations sont du premier ordre et linéaires; mais elles ne sont pas homogènes et contiennent encore en général les variables indépendantes j'i, . . .,^«. Pour achever de les réduire à la forme voulue, introduisons de nouvelles variables auxiliaires f 1 , • . . , la définies par les équations
Elles satisfont aux équations aux dérivées partielles
ÉQUàTIOKS aux DÉaiVÉBS PARTIELLES. 3l3
Cl aux condi lions iniliales
Il esl clair que ces conditions suffisent à les déterminer. Joignons ces conditions aux équations précédentes et transformons d^ailleurs celles-ci : i® en y remplaçant dans les dérivées partielles de 4>| les variables indépendantes ^^i , ...,JK« parles quantités équivalentes /«, ..., tn] 2" en multipliant tous les termes des seconds membres qui n'ont pas en facteur
une dérivée partielle des inconnues p par -^-- ? qui est évidemment égal à I. Cette transformation opérée, les inconnues p et t seront fournies par un système d'équations linéaires et homogènes du premier ordre, auquel on devra joindre les conditions iniliales (20), (21), (26) qui ont lieu pourri == a,.
Les valeurs des variables t^, . . . , tn et />â„a,.. ..«« pour
jK< ^ «1, . . ., J«= an sont d'ailleurs a,, . . . , a^x et fr^, «, 0^.
Aux environs de ce système de valeurs, les fonctions ^1 sont par hypothèse développables suivant la série de Taylor; il en sera de même de leurs dérivées partielles.
Toutes les conditions nécessaires à Tapplication du théorème du n** 238 se trouvant ainsi remplies, nous obtiendrons pour les inconnues t et p, et en particulier pour les inconnues primitives
des séries procédant suivant les puissances dej^j — ûJj, . .., j^n — a„ et satisfaisant à toutes les conditions du problème. Les fonctions U£ ne sont définies par ces séries que dans la région où celles-ci sont convergentes; mais on pourra suivre leur variation de proche en proche par les mêmes procédés que nous avons employés pour l'étude des équations différentielles à une seule variable indépendante.
3l4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lit.
24â. Considérons Téquation aux dérivées partielles 1néaire et du premier ordre
où P|, .. ., P„, Z sont des fonctions des variables indépendantes j?i, . .., Xn et de la fonction inconnue s; />i- . . ., ^..
dz âz
désifirnant les dérivées partielles ^-^j • • •> -r-^«
La fonction z étant supposée déGnie par une équation implicite
cherchons à déterminer la forme de la fonction <ï>, de tellf* sorte que l'équation (i) soit satisfaite.
L'équation ('à) dérivée par rapporta Xi donnera
<^^) dx,-^ôz'P^=''''
Substituant dans (r) les valeurs des dérivées partielles />; tirées des équations (3), il viendra
Pour que la valeur de z tirée de (2) satisfasse à l'équation (i), il sera donc nécessaire et suffisant quePéquatîon [.\ soit une conséquence de (2).
Cela posé, intégrons le système des équations différentielles
dx^ dXfi , dz
Pi P« "" Z
Les équations intégrales, résolues par rapport aux coostantes d'intégration c<, . . ., c», prendront la forme
tQUATIONS AUX DÉRITÉKS PARTIELLES. 3l5
?M • ••9 7/1 étanl des fonctions de X|, . . ., j:/,, >5. On sait (42) c| n'en posant
F désignant une fonction arbitraire, Téquation (4) sera identiquement satisfaite.
Nous obtiendrons donc une solution de l'équation (i) en «Icterminant z par l'équation
Mais il n'est pas établi que cette solution soit la seule possible, car il n'est pas nécessaire, pour qu'on ait une solution, que l'équation (4) soit identique. II sufHt qu'elle soit satisfaite pour tous les systèmes de valeurs de x^^ . . ., :r/t, z qui satisfont à ^ r=: o.
Pour déterminer les autres solutions, s'il en existe, nous remarquerons que les équations (5) ayant pour intégrales générales les équations (6), les équations (5) ou les équations équivalentes
P, dxx — Pi dx^ ~t:zo^ . . . , P^ dx^ — P, dx„ -— o,
Z dx^ — Pi dz —Z o
sont des combinaisons linéaires des équations
On aura donc, en désignant par An, ...; B|, ... des fonctions de j7|, . . ., x,i^ z faciles à déterminer,
( 7 ) P/ dx^ — Pj dxi= A/, dffirh ... -4- A/^ d^„,
(8) Z dXi—P^dz =Bi ^cp, +...-hB„ d9^.
Multiplions les équations (7) respectivement par ^,, ..,,
/>/, ... et retranchons-en Téquation (8). En tenant compte
rie l'identité
dz ■=! pi dxy -^ - ' '-^ Pn dXn
et posant, pour abréger,
3l6 TROISIÈME PARTIE. — CBAPITRB III.
îl viendra
(P,/>,-f-...-r-P„/>„ Z)ûfx, — \ Cid^i.
Si nous supposons Téqualion (i) salisfaite, cette ëquatioa se réduira à
Qfgd':>k^=i o.
Si donc les quantités Ck ne sont pas toutes nulles, les différentielles d^iy ..., d'^n seront liées par une relaliou linéaire, et Ton aura entre les fonctions f une relation
(Test la solution trouvée tout à Theure. Reste l'hypothèse
Lu ^^"^ 0| • • • y ^k — ^> • • • •
Ces équations, combinées avec l'équation donnée
P,;?i-i-...-hP„/?« — Z,
déterminent /?|, ,,,,p„^z en fonction de x<, ..., Xg^. Le-* valeurs ainsi obtenues fourniront une solution si elles satisfont aux relations
dz
ce qui n'aura évidemment lieu que dans des cas très exceptionnels.
