Applications. — i® Soit à intégrer Téquation aux
dérivées partielles
dz âz
ôjc dy ~"
des cylindres parallèles à la droite (^x = az, y = bz). On
formera le système
dx dy , — = -;--= ûte a o
ÉQUATIONS AUX DÉHIVÉBS PARTIBLLES. 3lJ
dont rintégrale générale est
a: — az=zCy y — bz^=zCi, L^équatlon proposée a donc pour intégrale générale
*(.r — a j, r — bz)=zo.
2*^ Considérons Téquation aux dérivées partielles , .dz âz
des cônes ayant leur sommet au point a, p, y. On formera
le système
rf r fiy dz
dont rintégrale générale est
log(:r' — a) = log(w — y) ^~ const., log(jc — P)=i:ilog(c — y) H~ const.
ou
:^ const., ' zii const.
L*intégrale cherchée sera
3" Considérons Téquation aux dérivées partielles
des surfaces de révolution autour de Taxe - = •-- = -•
Nous aurons le système
d.v dv dz
Y/ — ^z OLZ — Y*^ P^ — */ Soit dt la valeur commune de ces rapports ; on aura djc=:{fy — pz)dty dy=z{az — •^a:)dtj dz=:(^.T — ay) dl.
3l8 TROISIÈIIE PARTIB. — CHAPITRE IH.
On en déduit immédiatement les combinaisons iotégraU:
X dx -\- y dy -^ z cfs r= o,
a dx -\- ^dy -\-^( dz ^=o; d'où
x'-H/'h- 5'=:const, ax -h^y -^ '{zzizconst»,
et rintégrale cherchée sera
*(:r*-h/*-*- z^y ax -H ^y -h ^z):z^o.
4° Soit, en dernier lieu, Téquation
dz dz
dx -^ dy
qui définit les fonctions homogènes de degré n en jc^ y\ Oa
formera le système
dx 'dy dz
d'où
^jT:-^rx:='*->
X y nz'
— znconst., — =iconst..
L'intégrale générale sera donc
ou, en résolvant par rapport à -^j
et enfin
244. Passons à Tétude des équations aux dérivées partielles du premier ordre en général.
Soit
une équation entre n variables indépendantes x^^ ...f^af
ÉQUATIOKS AUX DÉRIVÉES PARTIKLLES. 3l9
une fonction z de ces variables et n constantes arbitraires a{, ..., an' En éliminantces constantes entre l'équation <E>=o et ses dérivées partielles
nous obtiendrons, en général, une seule équation aux dérivées partielles
La fonction z^ définie par l'équation (9), sera une solution de cette équation, quelles que soient les constantes ezi, ..., a„.
Une semblable solution a reçu le nom d'intégrale complète. Il est aisé d'en déduire les autres solutions de Téquation aux dérivées partielles.
On pourra, en effet, dans cette dernière équation, faire abstraction de la condition que p^, ...,/>„ soient les dérivées partielles de >3, pourvu qu'on y joigne la relation
( I î? ) dz=zpi dx^ H- . . . H- i^n dxn,
qui exprime précisément cette dernière propriété.
Cela posé, l'équation (11), résultant de l'élimination de axj . . .^ an entre les équations (9) et (10), sera algébriquement équivalente à celles-ci, pourvu qu'on y considère les a, non plus comme des constantes, mais comme des inconnues auxiliaires.
Nous aurons donc à déterminer les inconnues z, ai, .. ., ûr„, /?«, ...,/?/! par les équations (9), (10) et (12).
Cela posé, différentions l'équation (9), il viendra
OU plus simplement, en vertu des équations (10) et (12),
(i3) -r — da,-^. . ,-^ -z — dan^=o,
âai dan
Cette nouvelle équation aux différentielles totales pourra
3aO TBOISIÈMS PARTIE. — CHAPITHE III.
remplacer Téqualion (12) pour la détermination des f-m lions inconnues. Il existe plusieurs manières d^y satisiaire. I" On peut d'abord poser
Ces n équations, jointes à (9) et (10), achèveront de déterminer une solution, à laquelle on donne le nom à^intégralsingulière.
'1^ Si les -t- - ne sont pas tous nuls, Téquation aux difféTen-
tielles totales ( 1 3 ) montre qu'il doit exister au moins une équation de condition entre les inconnues ai, ... , a^. Admettons qu'il en existe k distinctes, à savoir
(l/j) /i- o, ..., fk — o.
On en déduira, entre les diflérentielles rfai, . . . , rfar«, les k relations
dont l'équation (i3) devra être une conséquence. On aura donc identiquement, en désignant par^i, . . . , X* des facteurs convenables,
d'où, en égalant les coefficients des diverses différentielles rfa/,
dai âai ' ' ' dai
('5) XT— ^1 ±r +•••-+- ^*
Ces équations, jointes au système (9), (10), (ï4), détermineront toutes les inconnues du problème, y compris les multiplicateurs X. Les fonctions /(, • . • , /a restent d'ailleurs arbitraires.
Le système de ces solutions , renfermant des fonctions arbilraires, se nomme Y intégrale générale.
Si nous donnons, en particulier, à k sa valeur maximum /i,
ÉQUATIONS AUX DÊRITÊES PARTIELLCS. 321
îs quantités a, étant liées par n équationSy seront des contantes, d'ailleurs arbitraires. Nous retrouvons donc, comme as particulier de l'intégrale générale^ l'intégrale complète i^où nous étions parti.
On voit par cette analyse que la recherche des solutions Tune équation aux dérivées partielles du premier ordre
(e ramène à la détermination d*une intégrale complète.
Plusieurs méthodes ont été proposées pour arriver à cette intégration; nous allons exposer les trois principales.
