Méthode des caractéristiques. — Posons, pour abréger

et soit

(17) « = *(xi, ...,:r,), Pi— ^^

une solution quelconque de l'équation proposée. A chaque système de valeurs de X|, . . . , Xn correspondra un système de valeurs de z et de ses dérivées partielles /7|, . . . , p^.

Nous appellerons éléments de la solution considérée les divers systèmes de valeurs simultanées de Xi, . . . , T/,, 5j p\f ' -'1 Pn qui satisfont aux équations (17).

Soit -8®, xj, p^ l'un de ces éléments. Supposons qu'on fasse varier les quantités x< à partir de leurs valeurs initiales x% de manière à satisfaire constamment aux équations différentielles

(18) -^—,.,z=—^=zdt,

t désignant une variable auxiliaire, dont la valeur initiale soit nulle.

Les systèmes de valeurs successifs de ces quantités, associés aux valeurs correspondantes des quantités 2, /?/, donne-

J, — Cours, III. 21

3^2 TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE lli.

ront une suite d'éléments de l'intégrale, à laquelle nous don nerons le nom de caractéristique.

246. Soient^, j?!,/?! l'un de ces éléments; z -+- 05, j?/-{- Îa Pi-h^Pi un élément quelconque de Tiotégrale, infinimeal voisin de celui-là. On aura, par définition,

(19) 5« =: />, Sa:, -+- . . . -+-/?^ ajr„,

et, en désignant par />i> les dérivées secondes -^ — 9

(20) 8/?/ = /)/, Sx, 4-...-l-/?i«Sx„.

Soit z -h dz^ Xi'\~ dxiy Pi + dpi un nouvel élément encore infiniment voisin du premier, mais situé sur la caractéristique: on aura de même

(21) dz =/?, «/j?,-h. . .-h/?i, dx^^

(22) dpi = pndXi-^, ..-hpindx^.

L'équation (16), différenliée par rapport aux S, donnera

Z85-hV (X/Sj:',.-hP/S/>;) = o,

et, en remplaçant les quantités P/, S^, Zpi par leurs valeurs tirées des équations (18), (19), (20),

o=^^(X,4-/^,Z)Sa;,4-^^^^/.,*^'Sx^.

Permutant les indices i et k dans la somme double et tenant compte de l'équation (22), il viendra

o=J^[x,+^,ZH-^]8x„

et, comme les 8x/ sont entièrement arbitraires, on en déduira

ÉQUATIONS AUX DÉmVfiES PARTIELLES. BsS

Knfm la diiTérentiation de l'équation (i 6) par rapport aux d Jonne

o =: Z r/j H- \ l^idxi-^ P, dpi et, en remplaçant les dxi, dpi par leurs valeurs tirées de (i8)

(a4) ozmdz—^ViPidt.

Les éléments successifs de la caractéristique satisferont donc aux équations (18), (28), (24)) qui peuvent s'écrire

^.r; __ dpi __ dz __

Ces équations difTérenti elles, jointes à la connaissance des valeurs initiales -s®, a;®, p] des variables >s, Xi, /?/, déterminent complètement la loi de leur variation. Elles sont d'ailleurs indépendantes de la fonction O. Nous obtenons donc ce résultat remarquable :

Toute intégrale qui contient Vêlement ^•, x\^ p\ contiendra tous les éléments de la caractéristique correspon-dante.

247. Les équations différentielles (25), intégrées en partant du système de valeurs initiales z^, x?, 77]^, donneront, pour j3, Xi^ piy au moins tant que les quantités Z, X/, P|, n'auront pas de points critiques, des valeurs parfaitement

déterminées

/ z =/{t,z<>,xlp?),

(20) Xi=^iit,z\xlp'i),

[pi--=^i{t,z^,xUpl).

Ce système d'équations représentera une caractéristique pourvu que les valeurs -s®, x% p^ satisfassent à l'équation

(27) ¥(z\x% ,.,,xlpl ...,/>J) = o,

qui caractérise les éléments des intégrales.

3a4 TROisifcm partie. — chapitre m.

Les valeurs des variables z, j:/, p/ correspondant af x à\\e:^ éléments des intégrales sont ainsi exprimées en fonction dc^ un -h a paramètres t^z^, ^'nPli ^^^ derniers vérifiant Téqu^ tion (27).

En laissant z^, ^]tP] constants et faisant varier t^ on obtiendra une infinité d'éléments formant une caractéristiqan On doit toutefois excepter le cas où les valeurs de s^^ ^%! annuleraient simultanément toutes les quantités P/, X/ -\-pJ^ car les intégrales des équations (a5)^ se réduisant alors à

Z-=^Z\ ^,=:^?, Pi=ph

seraient indépendantes de t, et la caractéristique se réduirai: à son élément initial.

Enfin, en faisant varier z^^ x^^p^, on passera d'une caractéristique à l'autre.

Soit maintenant

dxi

une intégrale quelconque. Pour qu'elle contienne un élément donné z, Xi, pi, il faut et il suffit qu'elle contienne l'élémenr initial z^y ûc^y p^ situé sur la même caractéristique, ce qui donne les équations de condition

(29) z'=^{j;l...ya:%)y />?=^-o-

Ces 71 + I équations, jointes aux équations (26) et (a-', caractériseront les éléments qui appartiennent à l'intégrale On retrouvera donc les équations (28) de l'intégrale en éliminant les paramètres /, z®, x^y p^ entre les équations (26;.

248. Réciproquement, considérons l'ensemble des caractéristiques pour lesquelles les paramètres -5®, x^ , pf sont liés par n -f- i équations de condition quelconques

{3o) m rrr o, ..., liT,^ =: O.

ILntre ces équatloDS elles équations (26) 61(27), on pourra -li miner les paramètres z^, xf^ /?f , f, et Ton obtiendra ainsi, ïnlre les variables z^ Xi^ pi, n + i équations,

il'où l'on pourra tirer en général les valeurs de z et des /;, en fonction des Xi.

Le système des éléments qui satisfont à ces équations constituera une intégrale si les valeurs ainsi obtenues satisfont aux relations suivantes :

et

219. L'équation (3i) est identiquement satisfaite. Soit on effet, Zj Xiy pi un élément quelconque du système considéré.

En donnant aux paramètres t et z^j x^ ^ j)] des accroissements infiniment petits, dt et S^®, Sx^, ^p]^ ces derniers compatibles avec les équations (27) et (3o), on obtiendra un élément z + A3, Xi-\- Ax/, pi-k- ^pi infiniment voisin du premier, et les différentielles totales A^, Aj:/, A/?/ seront évidemment de la forme rf^-f-S^, rfj?i-|-8xj-, û^; -h 8/?,-, en désignant par dz^dxi^ dpiles différentielles partielles provenant de la variation de t^ par 8^, txiy S/?/ celles qui proviennent de la variation des autres paramètres, z®, x^ y p].

Les différentielles dz^ dxiy dpi satisfont aux équations (25), d'où l'on déduit aisément les combinaisons suivantes

(33) dz — \ pidxi = Oy

(34) o = z û?5 -f- \ (X/ dxi -f- P/ dpi) =: j- dt.

Donc F est indépendant de t. D'ailleurs, pour ^ = o, il se

réduit à

qui est nul en vertu de Tëquation de condition (27).

250. Il reste encore à satisfaire aux équations (32). G. système d'équations est équivalent à Téquation aux difTêrcntielles totales

Hz — \ Pi Ax,- = o.

Remplaçant A^, ^Xi par dz-^^z^ dxi 4- 8xi, et tenant compte de (33), cette égalité se change en