s — \ pi ^Xi = o

Désignons par U le premier membre de cette équation, et cherchons comment il varie avec t.

Ou aura

dU :=z dZz — \ dpi Za'i — \ pi d ojt/;

d'ailleurs

dlz-=^Zdz-=\ {opidxt-h Pid^Xi),

Donc

dU = \ ( opi dxi — dpi ^Xi)

ou, en remplaçant les ^x/, dpi par leurs valeurs tirées des équations (^S),

dV =\ ( P, ^pi -{- X,- Lvi + Zpi ^Xi) dt ; mais l'équation F = o, difTérentiée par rapport aux S, donn<^

Zlz^\ {Viopi+liilxi) = o,

d'où

c/U = — Z Uz —Y Pi hx}\ dt=z—Zl] dt.

fiQDÀTIONS AUX DÉRITËES PARTIELLES. Stj

^etle équation intégrée donnera

Uo désignant la valeur initiale de U.

Il est clair que, tant que Z n'aura pas de points critiques, c^omme nous l'avons supposé, l'exponentielle restera finie. IDonc, pour que U soit identiquement nul, il sera nécessaire et suflisant qu'on ait

C35) o = Uo=8x;«— y /?;S:r?.

251 . Les solutions de cette équation aux difTérentielles totales se trouvent aisément par la méthode du n^ 2i4.

Cette équation montre d'abord que z^ est une fonction des ^?. D'ailleurs, les a/i -f- 1 quantités^®, x^ , p] étant liées par l'équation F == o et les n 4- i relations (3o), dont nous cher chons à déterminer la forme, il existera une relation au moins entre les quantités o:^. Supposons qu'il en existe k distinctes, telles que

(36) V,(a:J,...,arJ) = o, ..., V* = o,

et soit en outre

(37) z^ = W{xl,..,x'^).

On déduira de ces relations par la difTérentiation

L'équation (35) devant être une conséquence de celles-là, on aura identiquement

Uo = O^F — y /;? ô.r? rrz Xi S^Ft -h . . . 4- 1^ S'^A,

les \ étant des multiplicateurs convenables. Égalant séparément à zéro les coefficients des diverses différentielles Sx?,

SaS TROISlfeXB PARTIE, — CHAPITRE lU.

on aura les n équations

qui, jointes aux équations (^6), (27), (36), (37), représenteront 14ntégrale, les fonctions ^, ^1 , • . . , ^k restant arbitraires.

252. La solution précédente donne lieu à diverses remarques :

I® Le système d'éléments déterminé par les équations précédentes ne représente une intégrale, dans le sens attaché jusqu'ici à ce mot, que si Ton peut en tirer les valeurs explicites des quantités z, pi en fonction des xi^ ceux-ci restant indépendants. Il n'en serait pas ainsi dans le cas particulier où Ton pourrait déduire de ces équations une ou plusieurs relations entre les Xi. La considération de ces systèmes, qui ne fournissent pas des intégrales proprement dites, est pourtant utile dans beaucoup de cas. Pour en tenir compte, il conviendra d'élargir la définition de l'intégrale en donnant ce nom à tout système d'éléments z^ a;/, pi dépendant de n variables indépendantes et satisfaisant aux relations

F =: o, dz^z p^ dx^ -h . . . H- /?„ dXf^,

2° Nous avons admis dans notre analyse que le système des valeurs initiales z^^ x^ ^ p^ représentait un point ordinaire pour les fonctions Z, X|, P/ et n'annulait pas simultanément les quantités Pi*, X|-h/?|Z. S'il existait donc quelque intégrale dont tous les éléments fussent des points critiques de Z, X/, P,- ou annulassent les P/ et les X,- -4- />|Z, elles échapperaient à la méthode précédente; mais il est clair que ces intégrales singulières ne peuvent se rencontrer que dans des cas particuliers.

253. Parmi les intégrales fournies par notre analyse, il en est deux qui méritent une attention particulière.

L*a première s'obtient en posant k = n. Les quantités z^j jzr^, satisfaisant ainsi à /i + i relations, seront des constantes ; leurs différentielles S^®, ^x^ seront donc nulles et l'équation <^35) sera identiquement satisfaite.

On voit donc que les équations (26), (27) de la caractéristique représentent une intégrale si Ton y considère les 3®, x^ comme des constantes arbitraires et les pf comme des inconnues auxiliaires.

L'intégrale ainsi obtenue est une intégrale complète, car elle contient n (et même /i + i) constantes arbitraires. D'autre part, on ne peut déduire des équations qui la définissent aucune équation aux dérivées partielles

distincte de la proposée F = o ; car, si Ton avait une semblable identité; en y faisant ^ = 0, on trouverait

relation qui ne résulte pas des équations (26), (27)-

254. On obtiendra une autre intégrale remarquable en admettant qu'il n'existe entre les paramètres ^®, x^ que les deux relations

(39) <sO=T(a75,...,^J), j?; = const.

Les autres équations à joindre à celles de la caractéristique pour obtenir l'intégrale seront, d'après l'analyse précédente,

Pour la valeur particulière a: ï = a;®, on aura^ = o, a?a = a?J,..., 2 = jjo. Ces valeurs initiales étant liées par la relation (Sp), on voit que nous avons résolu le problème de déterociner une intégrale z satisfaisant à la condition

33o TROISIÈUB PARTIE. — CHAPITRE III.

W désismant une fonction arbitraire. L'existence d'une semblable intégrale avait déjà été établie au n° 235.

255. Lorsque le nombre des variables indépendantes se réduit à deux, les résultats qui précèdent peuvent s'interpréter géométriquement.

Une intégrale z = <I> (a:, , X2) représente une surface. Chaque système de valeurs de z, a?,, X2 représente un point; />,, p^ sont les coefficients de Téquation du plan tangent. Chaque élément de l'intégrale définit donc un point et le plan tangent correspondant.

L'équation aux dérivées partielles

devient, en y remplaçant pi , />a par leurs valeurs tirées des équations de la normale,

M — ^i st — ^i Q — **

Ff ?! «^I HJ •'^ï \

équation d'un cône, dont la normale sera une génératrice.

Une caractéristique représentera une courbe et la développable circonscrite à la surface intégrale le long de cette courbe, et le théorème du n^ 246 pourra s'énoncer ainsi :

Deux sur/aces intégrales tangentes en un point z^^ x% xl sont tangentes tout le long de la caractéristique déterminée par ce point et le plan tangent correspondant.

Toute surface intégrale aura pour génératrices des carac> téristiques. En particulier, l'intégrale complète du n** 253 sera formée par l'ensemble des caractéristiques issues d'un même point.

256. Première méthode de Jacobi. — Soit à déterminer une intégrale complète de l'équation

(4o) Y{ZyX^y '"j^n^Pii ' ' 'tPn)'=0.

On peut réduire le problème au cas où z ne figure pas explicilement dans Téquation.

Supposons en effet z déterminé par Péquation

On en déduira

Substituant les valeurs de ^4 , • * ^t pn ainsi obtenues dans (4o), il viendra

(43) ¥ = *{z,X„...,Xn.-^^>~, , ^^j

Si donc nous déterminons une fonction V des n H- i variables Zj X\^ ..., Xn qui satisfasse identiquement à cette équation (laquelle ne contient pas V explicitement), on obtiendra une solution de Téquation primitive en déterminant z

par l'équation

Si d'ailleurs la solution V que l'on a trouvée contient n

constantes arbitraires 61 , . . . , 6/,, de telle sorte que le jaco-

dV bien J des quantités -^ — par rapport à ces constantes ne soit

pas nul, la valeur de z sera une intégrale complète de l'équation primitive; car, d'une part, elle contient n constantes arbitraires et, d'autre part, le jacobien J^ des quantités

-\ V-pi -r: par rapport aux constantes o ne sera pas identiquement nul; car, en y donnant aux quantités pi les valeurs particulières o, il se réduit à J. Donc on pourra tirer des équations (42) les \raleurs des constantes poi^r les substituer dans (40' ^^ V^^ fournira une seule équation F = o.

2S7. L'équation <^ = o étant résolue, pour plus de simplicité, par rapport à -p* prendra la forme

à^ Vif àW dY\

332 TROIRlàSIR PARTIE. — CHAPITRE III.

Désignons par H ce que devient le second terme de cette

équation lorsqu'on y remplace les dérivées partielles -^ — par

des indéterminées /><*; et formons les équations différentielle» ordinaires

. ,w. dxi ^ dpi d\l

dz dpi* dz dxi

Nous allons établir que la détermination d'une solution V de l'équation (44) satisfaisant aux conditions requises et l'intégration du système canonique (45) sont deux problèmes entièrement équivalents.

258. Supposons, en eflet, qu'on ait obtenu la solution demandée

Les équations

où les ai désignent de nouvelles constantes arbitraires, seront l'intégrale générale du système (45).

En effet, les équations (4^)) dififérentiées par rapport à la variable indépendante z^ donnent

d^y V <^-V dxk dpi

. dXi dz itJ* àx( ôxig dz dz ^^^^ ^ d-V V ^'V dxk

dbi dz ^tc àbi dx/e dz

Mais, d'autre part, en remplaçant dans l'identité (44) les j— par leurs valeurs /?/, elle deviendra

et, en prenant les dérivées partielles, par rapport aux xi et

auK &i, on trouvera

àbidz ^kdpk àbi

U 'ailleurs on a

d'où

ÔJCi dxidxig dbi dbiÔJCic

Substituons ces valeurs dans les équations (48) et retranchons ensuite chacune d'elles de sa correspondante du système (47.'); il viendra

^kà-^ià-Ti' \ dz àpk) dz dxi

^^k àbi dxk \ dz dpkj

Ces équations sont linéaires et homogènes par rapport

aux quantités —r^ c — > -^ + -. — • D'ailleurs le détermi-

* dz ôpk dz oxi

nant des coefficients n'est autre chose que le jacobien J des

dy

dérivées partielles 3 — par rapport à 6,, .,., 6;,, lequel, par

hypothèse, n'est pas nul. Nous obtenons donc, comme conséquence des équations (46)? le système d'équations différentielles

dxu d\\ dpi â}\

dz dpk dz dxi

qui n'est autre que le système (43)-

239. Réciproquement, supposons que par un procédé quelconque nous ayons réussi à obtenir une intégrale générale des équations (45). Elle fournira les valeurs des Xi, pi

en fonction de js et de a n constantes arbitraires C| , . . ., Cj.,. Soient d'ailleurs a,-, 6/ les valeurs des x/, />/ pour une valeur initiale donnée z^ de la variable z. On pourra dëterminrr les constantes c au moyen des a/, 6|. Substituant ces valeurs dans les équations intégrales, celles-ci prendront la forme

(49) ^/— /i(5, «Il .. -ï flft» fti, ...» ^«)»

(50) pi=zfi{z^ «,,..., a„f 6,, . .., 6j,),

où les a/, 6/ peuvent être considérés comme de nouvelles constantes arbitraires.

Le jacobien I des fonctions // par rapport à ai, . . . ^ a« n'est pas identiquement nul ; car, pour la valeur particulière z = z^^/i se réduisant à a/, I aura pour valeur Tunité.

Les équations (49) peuvent donc être résolues par rapport aux ai et fourniront les valeurs de ces quantités en fonction des js, Xiy 6|. Il résulte de là que toute fonction des quantités z, x^ fi^ ^if bi peut s'exprimer à volonté, soit par les j8, aij bi seulement, soit par les ^, j?/, 6|.