Cela posé, désignons par U ce que devient la quaDtité

Pk H

lorsqu'on l'exprime au moyen de js, a/, 6/; et considérons l'expression

V=y a^bk-^C \}dz.

Changeons simultanément z en z + ^2 , et a,- , bi en a/-|- Sa/, 6/4- 86/; Xi sera accru de la quantité

dont nous représenterons respectivement les deux termes par dxi, Sjt/; Pi et V éprouveront des accroissements analogues

ÉQUATIONS AL'X DÉRITÊBS PAUTIBLLBS. 335

r on a

OU, en supprimant les termes qui se détruisent et remplaçant ^ — > 3 — par leurs valeurs tirées des équations différentielles (45)

D'ailleurs

iz Zdi\àai dbi 7 Oz

d'où

/ SU fl^c = ^\ pk 8x^J ^r=y pk oj?;fc— V 6/, oa^.

D'autre part,

Substituant ces valeurs dans (5i), il viendra

AV~\ (pkdxic-\' pk^Xk-\- af,^bk)'—\\dz =\ {Pk ^JOk 4- ak 56/,) — 11 dz.

336 TBOISIÈVI PàRTIB. — GHIPITAE III.

Celle reiatioa enlre les diOTérentielles totales AV, Ax^ 86a, dz montre que, si Ton exprime V en fonction de:» n riables z, Xk^ bk, on aura

Les équations (Ss) donnent, entre les variables z, JCi^pi^il les constantes a^y 6a« ^^ relations nécessairement dislincUi:' car chacune d'elles contient dans son second membre uoe quantité p ou a qui ne figure pas dans les autres. Ces équations ne sont donc autre chose que le système des équaiior* intégrales (49) et (5o) mises sous une forme nouvelle.

Quant à Téqualion (53), elle se transforme, lorsqu'on \

remplace les p/^ qui figurent dans H par leurs valeurs -j-^-

en Téqualion aux dérivées partielles (44)*

La solution V que nous avons ainsi obtenue pour celle équalion satisfait aux conditions requises; car elle contient n constanles arbitraires 6|, . . ., b„f et d'autre part k

jacobien J des dérivées -. — par rapport à ces conslanles n'est

pas identiquement nul; car, en donnant à ^ la valeur parli-

culière -3», -. — =pk se réduisant à 6/t, J sera égal à runllé.

On voit immédiatement que si, à la solution V que nous venons de trouver, on ajoute une nouvelle constante arbitraire a, on aura une nouvelle solution V -h a à /i -h i constantes arbitraires, et qui sera une solution complète de (44 <■

261 . Nouvelle méthode de Jacobi et Mayer, — Les deux méthodes précédentes pour Tinlrgration d'.'s équations aux dérivées partielles du premier ordre ont pour caractère commun de rameni?r le problème à rinlégration complète d'un système d'équations aux difFérenlielles ordinaires.

Jacobi a donné une nouvelle méthode, considérablement

ÉQUAnOlfS AUX DÊRlVfiES PÀRTIBLLES. 337

perfectionnée depuis par MM. Lie et Mayer, dans laquelle 3n considère successivement une série de systèmes d'équations dilTérentielles, dans chacun desquels il suffit de déterminer une seule intégrale. Cette méthode s'applique d'ailleurs sans difïiculié, ainsi que nous allons le voir, à la recherche des solutions communes à plusieurs équations aux dérivées partielles simultanées.

Soient

ces équations, où nous supposerons pour plus de simplicité qu'on ait fait disparaître la fonction inconnue par Tarlifice du n® 256. Pour que ces équations aient une solution commune, il faut et il suiBt qu'on puisse déterminer des fonctions Pi des variables indépendantes Xi, qui satisfassent à la fois à ces équations et aux relations

<55) fi = 'î^-*,

qui expriment que ^1 r/j? 4 -h...4-/>,vr/j:„ est une difTérentielle exacte; car l'intégration de cette différentielle donnera immédiatement la valeur correspondante de z,

262» Soient Fa = o, Fp = o deux quelconques des équations données. Prenons la dérivée de la première par rapport à Xi] il viendra

I Zâ

àxi ^k àpk àxi

Mulliph'ant par -r-^ et sommant par rapport à i, il vient.

i dxi ôfi ZjiZdk àpi dpk dxi

On trouvera de même, en permutant a et ^, Zài àxi dpi Zui Zàk àpi dpk ôxi

J. — Cours, m. aa

Retranchons cette équation de la précédente après aToii permuté les indices de sommation i et k dans la somme double; il vient

Zdi\ôxi dpi dxi dpi)

Zji Zjk àpi ùpk \ dxi dxk)

Mais la somme double s'annule en vertu des équations (551 On aura donc simplement

Auinsi, des équations primitives Fj = o, . . ., F;»= o, jointes aux conditions (55), on déduit entre les Xi^ pi de nouvelles

relations

(F«, Fp)=zo.

Si parmi ces équations il en est qui ne soient pas une conséquence algébrique des équations (54)» on pourra les leur adjoindre, recommencer les mêmes opérations sur le syst<^me ainsi complété, et ainsi de suite. On arrivera finalement, soit à un système contenant plus de n équations distinctes, auquel cas le problème sera impossible, soit à un système

tel que les équations nouvelles (Fa, Fp)= o qui s'en déduisent, ou soient identiquement satisfaites, ou soient, tout au moins, une conséquence algébrique des précédentes.

Lorsque cette dernière circonstance se présente, elle poui^ rait donner lieu à quelque incertitude. Pour la lever, résolvons les équations (57) par rapport à |jl des quantités j9 qui y figurent; elles prendront la forme

/?,— /i = o, ..., /?,jt— /||,= 0.

Les nouvelles équations

(^a — /a, /?,S— yp) = 0,

ÉQUATIONS AUX DARITÊBS PARTIELLES. 33g

qui se déduisent de celles-là, ne contiennent plus^t, .. •y/'a; elles ne peuvent donc être une conséquence des équations précédentes. Elles fourniront donc des relations nouvelles, qui permettront de continuer la série de nos opérations, à moins qu'elles ne soient identiquement satisfaites.

Nous arriverons donc nécessairement, ou à constater l'impossibilité du problème, ou à former un système

(57) F,=:o, ..., Fji=o, jouissant de la propriété qu'on ait identiquement

(58) (Fa, Fp) = o.

Un semblable système a reçu le nom de système complet.

Une équation unique F4 = o peut être considérée comme constituant un cas particulier des systèmes complets, correspondant à [A = I.

263. Etant donné, en général, un système complet tel que (57), cherchons à déterminer une nouvelle équation

qui, jointe aux précédentes, forme encore un système complet.

Le premier membre de cette nouvelle équation devra satisfaire aux |JL équations simultanées aux dérivées partielles

(59) o=(^ Fa)=2,A5:^ Wi " Wi d^ir

Ces équations linéaires forment un système jacobien, d'après la définition du n® 63.

En effet, on a

Zdi\à^i àpt dpi dxi) 2ak\àxk dpk dpk dx^J 2ji\àxi dpi dpi àxi) Zdk\àxk dpk àpu dx^r

34o noisiÈn pmtii. — chapitre m.

«n posant, pour abréger.

dx( dpi dpk dpi dxi dpk \ d -

<>Fp «?«Fa <?Fp (»'F, ( ~ Wr " '■

()j;< dptdpk dpt dxidpk

Jxi dpidxt dpi d-^id^k \ d

aFp <)«Fa <>1> d'F

S^ «y j;/ (;/>/ axk opi axi ax^ r ^ d

(Jo:/ dpidxie dpi dxidxk

Mais (Fa> Fp) est identiquement nul ; donc les A^, Ba sont nuls, et notre proposition est démontrée.

Le système (69) admet donc des solutions et son intégration se ramène à celle d'une seule équation linéaire aux dérivées partielles à in — pi variables, ou, ce qui revient au même, à l'intégration d'un système de 2/1 — |x équations linéaires ordinaires. On connaît d'ailleurs p. solutions du système, à savoir F|, . . . , ¥^, L'ordre du système s'abaisse donc -encore de {jl unités et se réduit à 2/1 — 2|x.

264. Supposons qu'on en ait trouvé une intégrale ^ ,, laquelle, en tant que fonction des p^ soit distincte de F|, . . ., F^. 11 est clair qu'on peut y ajouter une constante arbitraire ai , sans cesser d'avoir une intégrale. Donc le système

sera complet.

On déterminera de même une nouvelle équation cpj -f- «2=0 contenant une constante arbitraire a^ et formant avec les précédentes un système complet, en trouvant une intégrale d'un système d'équations différentielles d'ordre 2 n — 2 jx — u, et l'on continuera de même jusqu'à ce qu'on ait obtenu un système complet

F|i^i =<pi-f-a, = 0, .. ., Frt — ?,,-{i-han|j. = o.

fiQUATIOIfS AUX DfiRITtES PÀRTIBLLBS. 3^1

Les valeurs des /?/, fournies par ce système, rendroiH p^ dxi "{-.>.-{' pndxn diSTérentielIe exacte; car, en tenant compte des relations (Fa, F^) = o, les équations (56) se réduiront à

Zji2dkàpt Opk\àxi dxk)

Le déterminant R des quantités --r-^ n'est pas nul, car nous

avons opéré de telle sorte que les F4 , . . . , F,i fussent des fonctions distinctes des/?/; donc les quantités

Y àF^/âpk âpt\ 2dkdpk\àxi dxk)

que ces coefficients multiplient seront nulles. D'ailleurs le

déterminant des coefficients -r— ^ est encore éeal à R et dif-

àpk ^

férent de zéro. On aura donc

dpj ___ dpj __ ^ dx, ôxk '

ce qu'il fallait démontrer.

265. Les quantités />i, ...,/>/, étant déterminées par les équations Fj = o, . . ., F,^ = o, il ne restera plus qu'à intégrer la différentielle exacte /7| dx^ H-. • -H- /?/i dxn* On trou* vera ainsi

a étant une nouvelle constante arbitraire.

Nous obtenons de cette manière une solution du svstème des équations aux dérivées partielles Fj := o, . . . , Fjjt = o, contenant n — (x -h i constantes arbitraires, et qu'on pourra appeler une solution complète du système.

En prenant les dérivées partielles de z par rapport aux diverses variables J7, , . . . , X/<, on obtiendra les équations

34a TROISiftilB PARTn. — COAPITRB III.

manirestement équivalentes aux équations

F, = o, ..., Fpt = o,

De celte solution complète on déduira immédiatemeD: toutes les solutions du système

En effet, soient z une semblable solution; />|, ..., p» ses dérivées partielles; enfin at, , . ,, an-^.^ ot des inconnues aaiiliaires, déterminées par les relations

On aura, en différentiant cette dernière équation,

(6a) dz=: -r — dxi-h, . .-h -T — dxn-h -p-flfai-h. ..-^dx—o.

D'ailleurs, des équations (60) et (61), on déduit

et, comme

dzr=. p^ dxi -h . . . 4- /?;, dx^y

l'équation de condition (^2) se réduira à

(63) ^(^a,-4-. . .4- , ^ • dUn-iL + g« = o.

Cette équation aux différentielles totales s'intégrera comme au n« 244.

266. Il existe une classe particulière d'équations aux dérivées partielles auxquelles on peut étendre la méthode d'intégration par différentiation exposée au n^ 34 pour les équations différentielles ordinaires.

Soient, en effet, Z, X|, • . . , X,i, P|, ..., P^, p des fonc-

lions des 2nH~i variables z, Xi^ . . ., Xn, ptj •••> fn^ satisfaisant identiquement à la relation

Supposons que, les variables x^^ .,,^Xn restant indépendantes, on pose

dz dz

et qu'on veuille déterminer z par l'équation

Zzz: o,

on aura là une équation aux dérivées partielles du premier ordre qu'il s'agit d'intégrer.

En la différentiant, on aura

clZz=o

et, en tirant la valeur de dZ de l'identité (64) et remarquant qu'on a par hypothèse

dz =: /?, dxi -h . . . H- /?„ dx^f

il viendra

PjrfX,-f-...-+-P„^X„ = o.

On pourra satisfaire à cette équation aux différentielles totales :

1^ Ou bien en posant

Pi = o, ..., P» = o:

ces équations, jointes à Z = o, détermineront une intégrale singulière ;

2® Ou bien en posant entre les X un certain nombre d'équations de condition

344 TROISifcXB PAATR. ~ GHAPITIB III.

qui, jointes aux suivantes,

et à Téquation Z = o, fourniront une intégrale générale.

Pour trouver la forme générale des équations aux dérÎTét^ partielles du premier ordre auxquelles la méthode précéden:est applicable, nous aurons à déterminer, par le procédé qiL a déjà été exposé plusieurs fois, la forme générale des fooctions Z, X/, P/, p qui satisfont à l'équation aux différentiel! e^ totales (64).

267. L'équation aux difTérentielles totales (64) équivaut évidemment au système des équations suivantes aux dérivées partielles

Ces équations peuvent être remplacées par d'autres, d'une forme très remarquable, et que nous allons établir.

Nous désignerons, pour abréger, par -7 — l'opération T \rPi-jz^ ®^ P^^ ^^ symbole [UV] l'expression

ruvi =V (— ^-^ ^V Aai\àpi dxi dpi dxij

A. la place des équations (66), on peut écrire les suivantes

qui s'en déduisent, en y ajoutant la première équation multipliée par Pi.

tQU ATIONS AUX DÉniVÊBS PARTIBLLRS. 345

Cela posé, donnons aux variables indépendantes z^ Xi^ pi deux systèmes distincts d'accroissements infiniment petits dz^ djciy dpt et 8^, Sj;/, 8/?/, satisfaisant aux relations

( 69) dz^=\ pi dxij 8« = \ pi dxi.

Soient 6^, rfX/, dVi etSZ, 8X,', 8P| les ditrérentielles correspondantes de Z, X/, Pj.

U identité

dZ — \ P/ dS^i =:^ldz — \ pi dxi j ,

différentiée par rapport aux 8, donnera, en tenant compte de (69),

a dz — y (8P/ e/x, 4- P/ 0 ^x,)

= p I 8 c?5 — \ ( ^pi dxi -^ pi^ dxi) I .

Permutant les d avec les 8 et retranchant la nouvelle équation ainsi obtenue de la précédente, il viendra

{70) y (ûfPfoX/— û?X/8P/)=:py {dpi^xt—dxilpt).

Or on a, d'après la relation (69),

de même

Substituons ces valeurs dans l'identité (70) et égalons séparément à zéro les coefBcients des diverses différentielles

346 TROISIÈME PARTR. — GHAPITRB IH.

dpk^ dxk^ îl viendra

d'où, en changeant les 8 en 6f et résolvant par rapport am quantités dxk^ dpky

dxL.^=z

dpk =

iy(f£«,f/^,).

P L^i \dXk axk J

Ces équations doivent être identiques à celles que Ton obtiendrait en résolvant les équations (71)1 (72) par rapport aux dxky dpk* Les deux déterminants

dxk

« * • ■ • > • dPt

dPi

dXk

dpk

I dp/

I dHi

p àpk

p dxk

satisfont donc à la relation AA| = i .

Mais, d'autre part, si dans Ai on permute les n premières lignes avec les n dernières, puis les n premières colonnes

fiQUATIONS AUX DÉKIYÉES PARTIELLES. 347

ivec les n dernières, si Ton fait sortir du déterminant les facteurs ~ et — I, communs à une même ligne ou à une même

colonne, et enfin, si Ton permute les lignes avec les colonnes^ il viendra

De cette équation, combinée avec la précédente, on déduit

Donc, si p n'est pas nul, A sera différent de zéro. On en déduit que les fonctions Z, X/, P/ sont indépendantes. Considérons en effet leur jacobien

d7. dZ

dxi

dXt

âxt

dVn

dPn

dz dxi

dpn

àpn

dPn àpn

En aljoutant aux colonnes de rang 2, . . ., /z mière colonne, respectivement multipliée par /?|,

aura

ifL dl dZ

dz ' dxy^ àpn

dXi dX.1 dX,'

I la pre- . .,/>«, on

dz dxi

dz dx^

dpn

dPn dpn

Retranchons de la première ligne les n suivantes, respectivement multipliées par P|, • . • , Pu; il viendra, en vertu des

348 TBOISIÈIE PARTIE. — ClUFITftB Ul.

équations (65), (67)1 (68),

àpn

dP„

dP..

dxi

dPn

= pA = ±:p

Donc J n*est pas nul.

268. Soit maintenant u une fonction quelconque de z. T;, /?i. On aura

dxk

àpi

ou, en substituant pour dx^^ dpk les valeurs (73),

Faisons en particulier u = Xa, puis u = P^; il idendra

prfX,.=y ([P,X*]rfX,-[X,Xt]c«>0,

pdP*=^ ([P,P*] dX,-[X,P*] dP,).

Les dîfTérentielles «TX/, e/P/ étant indépendantes, ces équations devront être identiques; on en déduit

Faisons enfin £/ = Z. L'identité (64) donne, en remarquant que dz — \ pidxi=^ o,

rfZ=YP/JX/.

On aura donc ces nouvelles relations (75) [P,Z] = pP„ [X,Z] = o,

ÉQUATIONS AUX DÉRIYÊES PAttTIKLLBS.

qui, jointes aux équations (74)1 seront équivalentes à la relation (64).

2C9. Supposons qu'on ait trouvé un sj^stème de /i -4-1 fonctions indépendantes Z, X/, satisfaisant aux relations

On pourra déterminer sans |diiïiculté et d'une seule manière les 71 + I autres fonctions P/, p par les équations

dz ffh

' dxi

Les 2/1 équations (67) et (68), qui doivent déterminer les n inconnues P/, forment un système surabondant; mais il est aisé devoir qu'elles sont toujours compatibles. On a, en effet, les identités

qui fournissent n relations distinctes entre les A|, B/; car Tun au moins des déterminants formés avec les éléments du tableau

dXi

àpi

diffère de zéro, puisque le déterminant A, qui est une fonction linéaire de ces déterminants, n'est pas nul.

Ceci montre d'une part que, parmi les a/i équations (67) et ( 68), il y en a nécessairement n qui sont des conséquences des autres, et d'autre part que, parmi ces équations, il y en a

35o TnOISIÈSIB PARTIE. — CHAPITRB III.

toujours n essentiellement distinctes, dont la résolution donnera les inconnues Pa.