Soit

une équation aux dérivées partielles entre les variables indépendantes Xi, , , ,y x„ et une fonction inconnue 2. On pourr^ remplacer cette équation par le système des deux suivantes :

dz — \ Pi dxi 1= o.

Soient Z, X/, P/ des fonctions de 2, Xiy pi déterminée^ comme ci-dessus, de manière à satisfaire à Tidentité

dZ — \ l\dXi— pldz — \ PidxA.

Substituant dans les équations (77) les valeurs de js, Xi^pi^

-.— ; • • • en fonction de Z, X/, P/ et de leurs dérivées par-

tielles par rapport à X^, X2, . . . , on aura de nouvelles équations

*( Z, Xj, . . .,X„, P,, . . ., Pfl, . . ., -T^i •• • > ^^> - ■ . j,

équivalentes à Téquation aux dérivées partielles

Cette équation transformée est du même ordre que la primitive.

ÉQUAnONS AGX DÉniYfiES PARTIELLES. 35 1

271 • Les transformations de ce genre, auxquelles M. Lie a donné le nom de transformations de contact, ont une grande importance. L'une des plus simples est la suivante, déjà considérée par Legendre,

C'est bien une transformation de contact, car on a

cTL — \ Pi dXi =: — dz -H \ (/?/ dxi 4- Xi dpi ) — \ Xi dpi

^ — {dz -'\pidxi\ .

Cette transformation est d'ailleurs réciproque, car on déduit des équations ci-dessus, résolues par rapport à z^ j?/, //|,

5 = - Z 4-^ P,X„ Xi= Pô pi^ Xi,

272. Parmi les équations aux dérivées partielles à deux variables indépendantes et d'ordre supérieur au premier, la plus simple est évidemment l'équation monôme

dx"' Oy"

Il est facile de trouver son intégrale générale.

En effet, prenons pour variable auxiliaire la dérivée

- — = w; on aura

ôx '

Donc, pour une valeur constante de j^, la quantité w, considérée comme fonction de x seul, aura sa dérivée m*"-'™* nulle ; elle sera donc de la forme

A.Q -\- A| X -f- . . . -4- Affi — \X ~ f

35a TRoisiànB paktxb. — chapitre in.

Ao, • • •« Am-i étant des quantités indépendantes de x el, p^r suite, des fonctions, d'ailleurs arbitraires, de la seule variable Y*

La valeur de u étant ainsi déterminée, on aura

Désignons par Yo, ..., Y#w i des fonctions de y^ avant respectivement pour dérivée n**"** A©, . . . , A;„,. L^équation précédente admettra la solution particulière

Pour obtenir la solution générale, posons

L'équation deviendra

et donnera

(^ =z Xo 4- X,7 -h . . . -f- X„ , v"-»,

Xo, . . ., ^'1-1 étant des fonctions arbitraires de x. On aura donc finalement