Xo H- X, j' -h . . . H- x„, v

D'ailleurs A©, . . . , A;,,,, étant des fonctions arbitraires de v, leurs intégrales /i»^'"'* Y©, . . . , Y;„, seront également des fonctions arbitraires.

En particulier, l'équation du second ordre

ôx dy aura pour intégrale

ÉQUATIONS AUX DÉRIYÊES PARTIKLLE8. 353

27 J. Considérons avec Ëuler Téquatlon plas générale

a, 6, c étant des constantes.

Changeons de variables indépendantes, en posant

:x, ^, Y, S étant des constantes.

âx al oTi d I' "^ d; an

LVquation transformée sera donc la suivante :

Soit en particulier

\i et )^2 étant les deux racines de l'équation

a-h^bl -i-cX* = 0.

Les termes en -r^^j -r-^ disparaîtront, et Téquation transformée, se réduisant à

aura pour intégrale générale

/"et o désignant des fonctions arbitraires.

Si l'équation en )w a ses deux racines égales, les deux nouvelles variables Ç et 7^ ne seront pas distinctes. Le procédé J. — Cours, III. 23

354 TROISIÈME PAttTIB. — CHAPITRE III.

précédent doit donc être légèrement modifié. On prendn, dans ce cas, a= i, ^ =:X et on laissera y et 8 arbitraire:.

Les quantités a + b\ 6 + cX étant nulles, le terme en ^7-^ s'annulera; Téquation se réduira à

et aura pour intégrale générale

274. La méthode précédente, convenablement généraliste, permet de ramener à une forme plus simple Téquation

A-T— ^ 4-aB;5 — -. -j-C;^ H-M = o, oju^ ojo oy a Y

où A, B, G sont des fonctions de x^yy et M une fonction ce

dz dz

' " ' ^' c)j? ôy Soient, en effet, Ç, tj deux fonctions de x^ y^ que nou*

prendrons pour nouvelles variables indépendantes; on aun

dz dz d\ dz dt)

àx d\ dx dr\ dx

dz dz d\ dz dr^

dy '~~ d\ ôy dr\ dy

à^^à^fàly d^fàriY ^ d'z d^. dyj dx^ ();* \dx) dr^- \dx ) d^Ofi <Jx dx

dz d^ dz d'y\ ■^ di dx^ "^ di] dx' '

d^z d^z d'i dl d'z dr^ dri

dx dy d;* dx dy dr^^ dx dy

d^z^ (d^àri^àri^ dV\

di dri \dx dy dx dy) ^ d% dxdy ^ dt^ àxO

d'z di (hï

d*-z ( d\ &t\ dr, d\\ dz a»? dz d*r.

dy' ■" di' \dy) "^ dV \dyj

d\ dr\ dy dy dz d'^ dz (?«7)

J; dy' dri dy'

Substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on aura une transformée de même forme

A'^ + aB'-t^- + C 5^ + M' = o, Oi- ui art dT\*

A' = A T-^ Y-»- 2 B -^- ^-'- 4- C f -^ V, \da:J dx dy \dy) '

\ax J ox dy \àyj

Ces deux coerficients s*annulent donc si l'on prend pour \ et 7| deux intégrales distinctes de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre

Le premier membre de cette équation est un produit de deux facteurs "k-z — h [J'';t-> ^i ;s ^ 1^* ^* ^^ '®^ égalant

séparément à zéro, on aura deux équations linéaires du premier ordre; leur intégration donnera les fonctions ^, 7), dont rintroduction comme variables indépendantes réduira la proposée à la forme plus simple

Cette méthode serait en défaut si le premier membre de (i) était un carré parfait; car Ç et 7^, déterminées par une même équation linéaire, pe seraient pas distinctes. Mais, en prenant dans ce cas, pourT), une intégrale de cette équation et, pour Ç, une fonction quelconque, on voit aisément que B' s'annulera ainsi que C, de sorte qu'on obtiendra une transformée de la

forme

d^z /g àz dz\