P - ?- - MN = A
ax
L'équation (3) est donc équivalente au système des deui équations simultanées (4) et (5). Ce système s'intègre immédiatement si A =r o. En eflet, l'équation
ne contenant de dérivation que par rapport à Xy deviendra, pour une valeur constante àe y^ une équation aux différentielles ordinaires, linéaire et du premier ordre, dont on déterminera aisément l'intégrale générale sous la forme
Ut étant une intégrale particulière et C une quantité constante pour y constant et, par suite, une fonction de y seul, d'ailleurs arbitraire.
Substituons la valeur de u ainsi trouvée dans l'équation (4 *• Cette équation, ne contenant de dérivation que par rapport à y, pourra de même s'intégrer comme une équation aux diffurcnlielles ordinaires, à la condition de remplacer la con-
fiQCATlONS AUX DÊaiVfiKS PARTIELt^S. SSj
S tan te d'intégration par une fonction arbitraire de x. On aura donc, pour Zj une expression où figurent deux fonctions arbitraires, Tune de x^ Pautre de y,
276. Supposons, en second lieu, que A soit diflerent de zéro. L'équation (5) donnera
Substituons cette valeur dans (4) et posons, pour abréger,
A. ây ay
dy A dy dy ôy dx
il viendra
.V ^' « «« au ., au ^ ^
équation de même forme que la primitive. Si elle peut être intégrée, la formule (6) donnera la valeur de z.
Cette intégration pourra se faire immédiatement si Ton a
o^.A. = P.-^M.N = î^!^ + A-Hf-f * ax oxoy a y dx
ôx dy ôy
Sinon, opérons sur la transformée comme nous l'avons fait sur l'équation primitive ; nous ramènerons son intégration \ celle d'une nouvelle transformée
-h M, 3- 4-ÎV:r--hPî<'H-Qî=o,
dx dy dx dy
358 TB0I9IÈXB PARTIS. — CHAnTEX IH.
laquelle pourra se faire si Ton a
" — ^s — "tzit: — •"•'^i
dx dy ôy djc
Continuant de même, nous aurons un nouveau cas d^ialégrabilité, si la quantité
^•- (>x()/ ^^^* ^* est nulle, et ainsi de suite.
277. L'équation primitive ne changeant pas de forme si Ton y permute a: et M avec y et N, nous obtiendrons évidemment une seconde série de cas d^intégrabilité analogue à la précédente en formant successivement les quantités
B =P- ^ -MX,
ày
* dxdy dx ' dy
oxdv
Si Tune d'elles s'annule, on arrivera à une transformée intégrable.
