Considérons l'équation de Liouville

dx dy Posons

Il viendra

ÉQUATIONS AUX BÉBIYÉBS PARTIBLLK8. SSq

et, en prenant la dérivée par rapport à^,

dxdy dy dx ^

Cette équation peut s'écrire ainsi

dx ou, en intégrant,

Soit i({y) = — r .,/ V une solution particulière de cette équation; on aura

dy *'*'-*^' '•'-aX/''

et ces équations n'apprendront rien sur les fonctions tl et /*, la fonction F étant arbitraire.

Pour avoir la solution générale, posons

u étant une nouvelle variable, il viendra

au fir) , ,

ày f{y)

ou, en multipliant par — -^ ^ »

dy u

lf(y) = o.

360 TROISlftHB PARTil* — CIUPITBI UI.

Inlëgranl par rapport ky^ il vient

d'où

et enfin

^~aX/'(j) X/(/) + <p(x)

279. Étant donnée une équation aux dérivées partielles du second ordre

dz dz d^ s

où nous posons, pour abréger, ^ =/>> T~= 7> x~^ ~- ''» •••'

proposons-nous de lui appliquer la transformation de Legendre. Soient

les nouvelles variables, et désignons par P, Q, R, S, T les dérivées partielles -rrr, -r^y - — ;» • • • •

On aura

dL ^=:z jr dp -\- y dq -h p dx -jr g dv — dz =1 X dp -\- y dq =z jo d\ -h y c/Y , d'où

et, par suite,

5=iPX + QY— Z.

On aura ensuite

dX=z dp ^=z r dx -hs dy, dY =idq =s dx -{- i dvy dx=dP=iRdX-['SdY, dy =zdq = SdX-hT dV,

ftQCÀTlONS AVX DfiRIVÉBS PARTIELLES. 36 1

et, eQ éliminant dX. et dYj

dx = (hr H- 55J) dx -f- (R5 -h St)df,

dy = (Sr -4- T5) é/j? -f. (S5 -h Tr) d>^;

d'où

Rr -hS5 = I, R5-hSf = 0,

Sr-+-T5 = o, Ss-^Tt — i,

et enfin

RT— S** RT— s* RT— o-

L'équation transformée sera donc

Ff PXh-QY— Z, P, Q,X,Y, IÎJ-7 g^> '~RT— S*^ RT^^^)~^'

280. Nous allons appliquer cette transformation à l'équation aux dérivées partielles des surfaces dont les rayons de courbure principaux sont égaux et de signe contraire.

Nous avons donné (Calcul différentiely n** 337) l'équation du second degré, qui détermine ces rayons de courbure. Egalant à zéro la somme de ses racines, on obtiendra l'équation diflerentielle cherchée

Par la transformation de Legendre, elle deviendra (8) (H-X*)R -H 2XYS H- (i-f. Y*)T^o.

Différentiant par rapport à X, on trouvera

, . . .,.v (?R .r.r dS , ,, dT

ly; ^ ^ (JX aX ^ ' #9X "^^'^'^~*