MP — V
\0gMP =:J^^dx,
«=lj>.
M étant ainsi déterminé, on n'aura plus qu'à poser MP = K, MR = G pour avoir la forme d'équation voulue.
On peut simplifier encore la forme de l'équation (47) par un changement de variable. Posons, en effet,
4o4 TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRB m.
il viendra
dx
dx dx a dx
a j? a j7 a dx
r/^' ax* a dx \ dx )
Le terme en -^— disparaîtra donc de l'équation transformée,
laquelle, divisée par K', sera de la forme
-j~, RW = 0.
dx^
309. Soit V4 une solution particulière de l'équation (4?)? on aura
clx dx De cette équation combinée avec (47) on déduit
dx dx dx dx dx [ \ dx dx ) J
et, en intégrant,
dx ~KVÎ
et enfîn
(49) v = cV.y"j^^+c'V..
Supposons que K reste constamment fini et positif entre o et X. On déduira de la relation (48) que V^ et -7-^ ne peuvent s'annuler à la fois en aucun point de cet inter-
fiQUÀTIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4o5
^alle; car on aurait c == o, et Tinlégrale générale ne contiendrait qu'une constante d^ ce qui est impossible.
L^quation V| = o n*admel donc que des racines simples, -et la courbe JK = V| coupera l'axe des x en tous les points où elle le rencontre. Soient a et ^ deux racines consécutives;
les valeurs correspondantes ( — r— ^ ) ^M "77"^ ) ^^ '^ dérivée
—j-^ seront évidemment de signe contraire.
Cela posé, V désignant une autre intégrale quelconque, on aura Téquation (48) qui, pour a; = a et x = j3, se réduira à
Donc [RV]a et [KVJ^ seront de signe contraire, et, <îomme K est toujours positif, [V]a et [V]p seront de signe contraire.
Donc, entre deux racines consécutives de Téquation V| :^ o, comprises entre o et X, il y aura au moins une racine de V-- o. Il n'y en aura d'ailleurs qu'une seule, car ce théorème est évidemment réciproque.
310. Nous allons étendre cette comparaison aux intégrales V, V qui satisfont respectivement à deux équations différentielles distinctes
ux ax
^K'fLL^G'V'=o.
ax ax
Supposons d'abord que K' et G' soient infiniment peu différents de K et de G et que les différences K — R' et G' — G soient constamment positives entre o et X.
Admettons enfin que les intégrales V et V qu'il s'agit de comparer soient des solutions correspondantes, c'est-à-dire telles qu'on ait
dW' dS
V'=V, K'^=:K^ pour a? = 0.
ax ax '^
4o6 TROISIÈnB PARTIE. — CHAPITRE m»
On déduit des équalions (5o)
d ^,dW'
au.' dx ax dx
