G'-G)VV

ce qui peut s écrire

-^- pV'K ^- - VK' ^-1 = (G'- G) VV H- (K - K') ^ ^dx L dx dx J / \ / ^j^ ^^

dW . . . d\

Or V et —r- > différant infiniment peu de V et de -r- j audx ^ djc

ront le même signe que ces dernières quantités; d^ailleurs,

G' — G et K — K' sont positifs. Donc le second membre de

cette équation sera positif de o à X, et la fonction

d\ dV

dx dx

sera croissante dans cet intervalle. D^ailieurs elle s'annule pour X = o; elle sera donc positive de o à X.

Soit, maintenant, a une racine de l'équation ¥= o comprise dans cet intervalle; on aura, pour x = ol,

donc [V']a ^M "7" seront de même signe.

Si I ^ ]> o, la courbe^' = V traversera Taxe des x de

Fig. 7.

bas en haut au point x = a (Jig- 7); [V']a étant positif, la courbe j^=V', infiniment voisine de la précédente, sera

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIBLLBS. ^OJ

située au-dessus d'elle et coupera Taxe des x en arrière du point a.

Si -T- <C o, la courbe j' = V traversera l'axe des x en

descendant; [V']a étant négatif, la courbe jk = V' sera audessous de la courbe^ ^^ V et coupera encore Taxe des x en arrière du point a {Jiff* 8).

Fig. 8.

D'ailleurs, si l'une des fonctions V, V s'annule pour x = 0j il en sera de même de l'autre, par hypothèse.

Donc, à chaque racine a de l'équation V = o correspond une racine infiniment voisine a' de l'équation V'= o, laquelle sera un peu moindre que a; et l'équation V'=r o aura en général autant de racines entre o et X que l'équation V= o.

Toutefois elle en aura une de plus si V s'annule pour X, car la racine correspondante de V tombe en dehors de Tintervalle considéré.