Soient plus généralement deux équations
dx cUv
où les quantités K4 et K, Gf et G diffèrent de quantités finies, mais satisfassent toujours aux relations
(54) Gi — G50, K — K,5o deoàX.
On pourra former d'une infinité de manières deux fonc-
4o8 TROISIËHI PARTIE. — CBAPITRI HI.
lions (f(^,r), DC(a:, r) de x et d'un paramètre variable r, qui soient, la première croissante et la seconde décroissante lorsque r croît de r© à r^ (et cela pour toute valeur de x comprise entre o et X) et qui de plus se réduisent respectivement à G| K pour r= To et à G|, Ki pour r= /-i- On pourra prendre, par exemple, ro= o, Ti = i,
g(jr,r) = G-Hr(G,-G), DC(^, r)rz:K-i-r(Ki— K).
Cela posé, considérons Téquation
^DC(.,r)^jH-g(..r)W=o. j
et désignons par V(a:, r) une solution de cette équation, déterminée par les conditions initiales
a et b étant des constantes déterminées choisies à volonté.
Donnons successivement à r une infinité de valeurs To, r', . . ., r< variant progressivement de r© à r^.
Soient G, G', ..., Gi; K, K', ..., K, ; V, V, ..., V, les valeurs correspondantes de (J(x,r), S)C(j?, r), \ (x^ r); nous aurons
deux fonctions consécutives étant d'ailleurs infiniment peu différentes
Nous aurons, d'autre part,
-T-K -^ hGV =::0,
cix dx dx dx
sl'^'S-^^'^'^o
fiQUATIONS AUX OfiRITfiKS PÀITULLKS. 4^9
et
(Xx dx ' ' ' * cix^ )
Si V= o admet une racine a dans l'intervalle de o à X, les équations successives V-^o, V'^^o, ..•, V, = o admettront respectivement, pour racines correspondantes, d'après ce qui a été démontré, des quantités a, a', . . ., a^, telles que
l*OQ ait
Donc, à chaque racine a de V = o comprise entre o et X correspond une racine moindre ai de l'équation Vf = o. Celle-ci aura donc dans cet intervalle au moins autant de racines que V= o. Elle peut en avoir davantage; car, si l'une des équations successives
est satisfaite pour x :^ X, il s'introduira par là dans les équations suivantes une nouvelle racine que n'avaient pas les précédentes.
L'excès A du nombre des racines de l'équation V^ = o sur le nombre des racines de V=o sera donc égal au nombre des valeurs de r comprises entre r© et Ti qui satisfont à
l'équation
312. Soient r*, r*+* deux valeurs consécutives quelconques de r; on aura (310), dans l'intervalle de o à X,
dx dx
Lorsque V' n'est pas nul, V'+*, qui en diffère infiniment peu, sera de même signe, et, en divisant la relation précédente par la quantité positive V'V'+*, il viendra
dx dx
4lO TROISIËXB PARTIE. — CHAPITRE III.
et, plus généralement, eh désignant par H une constante quelconque,
(fJP (1,V
Cette inégalité a lieu pour toute valeur de x comprise ai G à X et, en particulier, pour a; = X; elle montre que IVxpression
i)C(X, ,.) ^Xi2^ ^ HV(X, r)
<fr - / \
considérée comme fonction de r, est constamment décroîv sante de ro à Ti , sauf pour les valeurs de r qui annulent son dénominateur.
Elle ne pourra donc changer de signe qu'en passant par zéro ou par Tinfini négatif, et ces zéros et ces infinis se succéderont alternativement.
Si 'f (to) et cp(ri) sont de même signe, le nombre A' de> zéros sera évidemment égal au nombre des infinis; si ?(''o)>o, cp(r»)<o, il sera égal à A + i; si <p(ro)<o, ^{r\)> o, il sera égal à A — i .
Le nombre des racines de Téquation
^(X, r) ^^^^-^^ -+- HV (^, r) ^ o,
comprises entre r© et r^, sera donc égal à A, A + i ou A — i suivant celle des trois hypothèses précédentes qui aura lieu.
313. Jusqu'à présent nous nous sommes borné à comparer des solutions correspondantes des deux équations différentielles
if-K ^+GV =o, dx dx
fiQUÀTIONS AUX DÉRIVÉES PÀRTIBLLRS. 4ll
Soient maintenant V et V| deux solutions quelconques de ces mêmes équations.
Nous allons établir que deux racines consécutives a, ^ de l'équation V=o comprennent au moins une racine de l'équation V| = o,
En effet, soit V'^ une solution de la seconde équation, telle que l'on ait, pour x =. cl,
dW' dV
A la racine P de V=o comprise dans l'intervalle de a à X correspond, d'après les raisonnements précédents, une racine p\ de V'^ = o comprise dans le même intervalle et moindre que p. Mais V| satisfaisant à la même équation différentielle que V'^, entre les deux racines a et P\ de V', 1=: o, il devra se trouver une racine Pi de V| = o, ce qui démontre notre proposition.
314. Les considérations précédentes permettent de fixer dans une certaine mesure le nombre et la position des racines de l'équation Vr= o comprises entre o et X, V désig^nant une solution de l'équation différentielle
d ^ dV ^
-7- K 3 h GV =1 o.
ax ax
Soient, en effet, k2, g\ et k^ , g^ les plus grandes et les plus petites valeurs de K et de G dans cet intervalle. Considérons les équations auxiliaires
Vi et y2 étant des intégrales quelconques de ces deux équations, deux racines de V= o comprendront entre elles au moins une racine de V| = o, et deux racines de V2 = o comprendront entre elles au moins une racine de V= o.
4ia TROISifcMB PART». — CHAPITRE m.
Or, si gi est positif, les intégrales de (55) seront de li forme
V, = csiny''flf + c'cosY/flf.
L^équation V, r- o a une infinité de racines équidistanteseî
dont la différence est ^^1/ ^' On peut d'ailleurs détermioff
le rapport des constantes c, c' de telle sorte que V| s'annula pour une valeur a arbitrairement choisie. Si donc on prend,
entre o etX, un intervalle quelconque d'amplitude < Tti / -^.
on pourra déterminer Vi de telle sorte qu'elle n'ait aucune
racine dans cet intervalle; donc Y ne saurait en avoir plas d'une. Donc la distance de deux racines consécutives de
V =Ti o sera au moins ésrale à iri/ — • Le nombre total de
ces racines entre o et X aura donc pour limite supérieure l'entier immédiatement supérieur au quotient de X par
Si g% est négatif, on aura
Vt = ce ^« -{-ce *« .
L'équation Vi = o n'a aucune racine, si c ei d ont le même signe. Donc V = o ne peut en avoir plus d'une entre o et X.
Considérons maintenant l'équation (56). Si g^ est positif, V2=o aura une infinité de racines équidistantes, dont la
différence estTri/ — ,et l'on peut choisir les constantes
d'intégration de telle sorte que Vj s'annule en un point arbitraire a. Donc entre o et X la distance de deux racines con-
fiQUÀTIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. ^l3
nombre total de ces racines aura pour limite inférieure le plus grand entier contenu dans le quotient de X par 'ï^l / — ^ -
