Revenons maintenant à Téqualion

Désignons par V(^, r) une de ses solutions qui satisfasse à la relation

K — /j V r= O pour ^ rz: O.

CIJC

On a vu que, si r = o, cette fonction et sa dérivée ne s'annulent pas entre o et X et ont le même signe; on aura donc

kÇ^ + IIV

^ >- o pourj: = X, r=zo.

Si donc r varie de o à une valeur positive R, gr — / croissant constamment pendant ce changement, le nombre des racines de Péquation

o=:m(r) =z k-z h HV pour x=zX,

comprises dans cet intervalle, sera égal à A ou A + i , A désignant l'excès du nombre des racines de Téquation

sur celui des racines de V(^, o) = o dans l'intervalle de o à X.

Cette dernière équation n'ayant pas de racines, A sera le nombre des racines de V(^, R) = o.

D'après l'analyse précédente, il a pour limite inférieure le plus grand entier E contenu dans le quotient de X par

Tïi/ — d[i> ^2> 'a désignant les plus grandes valeurs de k, /, et g2 la plus petite valeur de g dans l'intervalle de o à X.

4l4 TROISIÈME PABTIB. — COAPITIII III.

Or il est manifeste que E croît indéfiniment avec R. Donc Téquation ra{r) = o admet bien une infinité de racines.

316. Cela posé, nous avons vu (305) que le problème do refroidissement de la barre revient à choisir les coefficients A^r I de telle sorte qu*on ait j

2A„,V,„=r/(jr) dexoàX. |

En admettant la possibilité d^une solution, il sera aisé de déterminer ces coefficients; multiplions, en effet, cette équation par gYn et intégrons de o à X. En vertu des relations (4 filous les termes de la série où m^/i donneront une intégrale nulle, et Ton aura simplement

kC gVldx^f gWnA^)dx.

Substituant les valeurs ainsi trouvées pour les coefficients, nous obtiendrons la série

„ f gynA^)dx

g\\dx

Si cette série est convergente et a bien pour somme f{^) dans tout l'intervalle de o à X, le problème sera résolu; mais, pour s'en assurer, il serait nécessaire de sommer (directement la série. Ce résultat n'a encore été atteint que dans quelques cas particuliers.

317 . Equilibre de température d'une sphère homogène. — En désignant par r le rayon de la sphère, nous aurons l'équation aux dérivées partielles

dx- '^' ÔY- "^ dz*' ~^'

âQUÀTIONS AUX DÉRIVÉES PAUTIELLR9. ^iS

avec la condition à la surface

U =i:F(a;, 7, z) pour j?'4-y'H- 5*-= r*.

Posons

j? ii^p sinôcos^J;, ^- = p sin 6 sin 4^, JS = p cosO,

Nous avons vu (t. II, n** 236) qu'on satisfait à Téqualion aux dérivées partielles par la solution simple

Y„ désignant une fonction de Laplace, c'est-à-dire un polynôme homogène et de degré n en sinOcostj/, sinOsintj/, cosÔ, satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles

Le polynôme Y„ ainsi déterminé contient d'ailleurs 2/i-|-i c^onstantes arbitraires dont il dépend linéairement.

En combinant ces solutions simples, on obtiendra comme nouvelle solution la série

^■=îe^-

A la surface de la sphère, où p = r, cette série se réduira à

aa

Il reste à déterminer les constantes qui figurent dans les Y^, de telle sorte que cette valeur soit égale à l'expression

F(/'sin6cos<^, /'sinô sin'J/, reosO),

que nous représenterons, pour abréger, par /(6, ^).

Or nous avons vu (t. II, n°* 2-i3 et suiv.) qu'on arrive à ce résultat en prenant pour les Yn les valeurs particulières sui-

4i6 Tioisiftn PiiTii. — CHAPiTti m.

crantes