SIC 1C

où

P„~Xrt(cosY) — Xrt[cos6cos6'-i- sinOsinO' cos(tl — V)]»

Xn désignant la fonction de Legendre.

318. Cette solution peut se mettre sous une forme plc5 élégante.

Remarquons, à cet effet, que la fonction générale Y^ est une somme de termes de la forme

Afjic sin'ij^ cos*<^ sin' *-*6 cos**"'"*©.

D'ailleurs le produit sin'<{/ cos*<{/ s'exprime linéairement au moyen des sinus et cosinus des arcs (f-t- A:) *(/, (i-i-k — 2) i, .... Par la substitution de ces expressions, ¥„ prendra évidemment la forme

Y„ — \ [^m« cos /n4; H- e'^^ sin m 4^] ,

où

V et V" étant des polynômes en cos8 et sin^O, qui se transformeront en polynômes en cosO si l'on y remplace sin'B par 1 — cos*8.

Substituons le développement précédent de Y;, dans l'équation aux dérivées partielles qui définit cette fonction, et chassons les dénominateurs ; il viendra

o =y } sin«e ^^^^ -h sioe cosO ?^ ^

.y I sin«0 ^^^ -H sine cosO ^^ -h [n(n -h i) sin'O - m«]e'^„ | sinmi.

Pour que cette expression s'annule identiquement, il faut

ëvidemment que les termes qui contiennent le sinus et le cosinus de chaque multiple de ^ s'annulent séparément. Donc chacun des termes de Y„, pris à part, sera une solution de Téquation, et 0^,„, 0]|„,, seront des solutions de Téquation linéaire

sin'O-— 4-sinôcose— -h [/i(/i-f- 1) sin»Ô — /n']e = 0.

Posons

e~ Vsin'^e;

nous obtiendrons une transformée en V

sin^O-,-— -h (2/n -+- i) sin6cos6-7T-

-f- [n{n -h i) — m{m'{- 1)] sin'OV =10,

à laquelle satisferont V et V".

Prenons enfin cos6== |jl pour nouvelle variable indépendante; nous aurons une dernière transformée

Cette équation se lie intimement à Téquation connue

(D8) (l-|X«)-^-2H.^- + /l(/l-f-l)XrrrO,

à laquelle satisfait le polynôme de Legendre X/2([a).

En effety différentions m fois cette dernière équation ; on

obtiendra, pour déterminer . ^ y une équation identique à

(57). Les intégrales de (67) sont donc les dérivées m""*^' des intégrales de (58). Or le seul polynôme qui satisfasse à cette dernière (sauf un facteur constant qui reste arbitraire) est le polynôme de Legendre X;j([jl).

Les polynômes V, V", qui satisfont à (57), se réduiront

donc chacun, à un facteur constant près, à — ^^m ^ ^^ '®^ J. — CourSf m. 27

4lB TROISIÈHB PAETIB. — COAPITRB Hl.

fonctions

e;,„ = v'sin'«e, e-^„z:zV'sin«e

seront égales, à des facteurs constants près, à rexpression

^' ** • r/u.'" "a". 1.2.../» rf^'»+»

que nous désignerons par P^^(|jl).