j Pjr([i.)[A;„„cosm4;H-B„;,8inmH

et il restera à déterminer les constantes A et B, de telle sorte qu^on ait

^^Y„=^^^V;r(HL)[A«„cos/n4/ + B;„„sinm4.]=/(e,<;).

Multiplions cette équation par cos/nij/ e/^, et intégrons de G à 217; en remarquant qu'on a

/J1Ï / o, si /n > m',

cos/7n^cos/n'4'û^'J'= { ^> sim=:m'>o, ( air, si/w zzz m'=: o,

il viendra

\m étant égal, en général, à i, et à 2 si m = o.

Multiplions cette dernière équation par P^([jL)rffjL et intégrons de — I à I, en remarquant que

^+1 ( O) si n > n\

[ {n-h m)l 2n -\-i il viendra

,4-1 >,tic

On trouvera de même

«'»»=1^'^XX m*)--*ï*-(^)''*''^-

Substituons ces valeurs des coefficientâ A et B dans Teipression (Sg) de Y,, et réunissons tous les termes sous m seul signe d'intcgration, après avoir changé les variabh d'intégration 0, <j^, (jl en 6', ^', |jl' pour éviter toute conL sion; il viendra

,-4-t y^îK

X p;;'(|x) pj'([a') costo(4. - ^') rff rfft'.

Mais nous avons précédemment trouvé cette autre valear

tÎ~ /"/'"/(»'. f) P» sine' di' dv.

ou, en prenant cos8'=[a' pour nouvelle variable d'intégration,

,4-1 ^ÎIC

La comparaison de cette valeur avec la précédente donne l'égalité

qui permet d'exprimer la fonction

P„rz:X„(C0SY):=X;,[|AIx' + V^I-lx«Vl-H.'*C0S(4i-V)]

par une somme de produits de trois facteurs, dont chacun ne dépend que de Tune des variables [a, [a', ^j^ — «{/'.

321. 11 est aisé de vérifier directement cette formule. En effet, Prt, considéré comme fonction de 0 et tj^ — i(\ est une fonction de l'espèce Y^ ; elle pourra donc se mettre sous la forme

P«==^^^P?(lJ^)[A«;,cosm(^;-4.')-f-B«„sinm(4.-4,')],

où les coefficients Amn) ^mn ne dépendent plus que de [a\

D'ailleurs P« est une fonction paire de ^ — *Y; donc les <;oe(l(icients Bmn seront tous nuls. De plus, P;, est symétrique <in p. et [jl'. Donc Amn sera égal à CotP^([J^')î ^'» désignant «ine constante.

Nous trouvons ainsi

(60) P„=^%^P-(HL)P;'*([x')cosm(<;->f)

<il il ne reste plus qu'à déterminer les constantes Cm'

A cet eflet, nous égalerons les valeurs principales des deux membres lorsque Ton y pose [jl= |jl'= oo; faisant, pour abréger, ^ — ?{/'= o, la quantité

ces Y =^ H^H^'-^ V^ï — V*'^^ — H^'* cosïp se réduira sensiblement à

{x'(i — cosç) r^ 2 sin---f .u',