On lèvera cette ambiguïté en posant
On a, en eflet, d'après les notations adoptées dans la théorie des fonctions elliptiques (t. II, n°' 367 et 371).
V/pii — ««nr tfoio"> Uat=-
V(gp~ga)(gY — ^a)
d'où
(63) ^a— ■ :UÎ<3'aoMia'aoWîa'ao«3 (a = i,2,3).
Si dans ces formules, qui donnent les trois coordonnées, nous convenons de prendre partout le signe 4-, à chaque système de valeurs de Mi, u^^ Uz correspondra un seul point
Cherchons comment on devra faire varier w,, Mj, u^ pour obtenir une fois chaque point réel de l'espace. Posons, pour abréger,
La première période
sera réelle et positive, et la seconde période 20)2 sera purement imaginaire.
4^4 TROISIÈME PARTIE. — GHAPITRB lU.
Si Xf varie de €2 a Cj,
sera réel, et Ui (ou du moins Tune de ses valeurs) variera en ligne droite de 0)2 à co^ + cof .
Si X2 varie de e^ k e^, du^ sera purement imaginaire, et Tune des valeurs de u^ variera en ligne droite de eu, à W3 -H CO2.
Enfin, si X3 varie de 00 à «i, «i^/j sera réel, et Tune des valeurs de Uz variera de o à cOf.
On obtiendra donc tous les systèmes de valeurs admissibles pour X|, Xa, X3 et, pour chacun d'eux, un seul des huit points x^j ^27 ^3 (|ui lui correspondent, en faisant varier, en ligne droite,
Wi de o>j- à cDj-h coi, Ut de Cl), à coj -{- (Dj, 1/3 de o à (i>i.
Les autres points se déduiraient de celui-là en changeant les signes de ses coordonnées.
Ou les obtiendra tous et chacun deux, fois, en faisant varier £/i de (1)2 à (0 2 -h 4^1 et ^2 de (Os à coj + 4^2-
En effet, les relations
(t. II, n** 371) montrent que Ton a
si m' -4- a ou u' — u est une période. Or, à chaque valeur U\ de M, comprise entre 0)2 et CO2 -f- (1)4 , correspondent, dans l'intervalle de coa à 0)2 + 4^1, trois autres valeurs de ce genre,
ttj =r 2(0, 4- 21O1 — Wi, i/j = «1-+- 2 0)1, Mj zii Mj -h 2Ci>,,
A chaque valeur U2 comprise entre 0)3 et (O3 4- CO2 correspondent de même dans l'intervalle de CO3 à (1)3 -{- 4 ^2 les trois
valeurs associées
Mj=: 2(Dj-|-2U),— Mj, wj=: f*,-f- 2 0)1, a" zz: a^ -t- 2 (0„
Les i6 points
auront au signe près les mêmes coordonnées zhx^, zh X2f zàz Xz' On vérifie aisément que chacune des combinaisons de signes est reproduite deux fois. Ainsi («i u^u^) représentera le même point de l'espace que {u\ m^Ws), (m, W2W3) le même point que {u^ u^ u^)^ etc.
324. Ces préliminaires posés, prenons i^i, U2, u^ pour variables indépendantes, et cherchons la transformée de l'équation diHerentielle (61); on a
àJCoi '~ ZjLkàuk Oxa^
i ~ Zàkàitl
àxl Z^kàiil \Oxa
V^ ô^u duk dui y d^ d^ uj^
^^k.iàufedui dXfx dxoi Z^kàui^ àx\ ' d'où
Zdk^l OUk ÔUi ZdoL àXa àXa Zjk àUk Zda d^a
Reste à calculer les sommes
ZàoXdXa,) ' ZàOiàx^ dxaj ZdoL à xi '
Or on a
dufc duk d\k ï (^^k
dxa, ~ cTkk àxoi ~ is/flf, àxai'
^^^ ^ U\kf ^^^""^ ^v^X^. àxl
4^6 TftOISlfiMB PARTIE. — CHAPITRB UU
d'où ^ âtik dui I V' â\k ày<t
^a àXoL dx^ ~" 4v7^ )Jfh ZdoL àxa <^^a'
Or, les surfaces ^jt = const., X/ = consl. se coupant à angle droit, on a
^OiàXaL àXoL
D'autre part, en dérivant par rapport à ^a Téquation
/M* nf*' T**
A* — e, Ajfc — e, Ax- — ej et posant pour abréger
il viendra
d'où
dX^ I 2Xt
àXa S* X* — Ca
D'ailleurs si, dans Texpression de Sa, on remplace chacune des quantités x^ par sa valeur
(^1— ga)(^î— g«)(X,— gg)
(gp — ga)(gy — «a)
il vient
(h'~ea){y^m — eoi) Ck,— 'kk)C>^m — h^
a(gp — ea)(gr~-^a)(^*— ^a) /À*
ÉQCÀTIOlfS AUX OÉRIYÉES PARTIELLES. 4^7
diaprés la formule connue de la décomposition en fractions simples (/, m désignent les deux indices de la suite i, 2, 3 qui diffèrent de Ar).
On aura donc
Enfin Téquation (64) dérivée deux fois de suite par rapport à Xa donnera, en posant pour abréger
Sommant par rapport à a, il vient, d'après (66) et (67),
Comparant cette équation à la précédente,
S/^y^ A, aXà^aJ S*'
il vient
___i/%y /^y^Y ^'ii-o
et, par suite,
L'équation différentielle transformée sera donc
(X/-X;t)(X,„-XA) Oui
ou, en chassant les dénominateur et remplaçant X|, Xj, A3
4^8 TROISIÈHB PARTIS. — CHAPITRE 10.
parpw,, pu2, pui,
(68) (pw,-p,/3) — - :.(pi,,paO^,--^(P«i-P«t);^^ = o-
325. Quant à l'ëqualion à la surface, il est aisé de la former. Soit u la racine de Téquation
comprise entre o et &)« ; on obtiendra les points de la surface de Tellipsoïde, chacun deux fols, en posant u^ = u et faisant varier Ui de 0)2 à Wj 4- 4^1 > ^2 de Wj à coj -h 4 Wj . La température en chaque point de la surface étant donnée, on aura, pour «3= u,
^ étant une fonction arbitrairement donnée de £^« = 013 à W| = Wj -|- 4<*>o et de W2 = W3 à U2= ^^-i- 4^2* (Elle devra d'ailleurs reprendre la même valeur pour les deux systèmes de valeurs de Ui, u^ qui représentent le même point.)
3!26. On peut aisément trouver des solutions simples de Téquation aux dérivées partielles (68). Nous aurons vu, en effet (231), que pour chaque valeur de l'entier positif n on peut déterminer 2/1 -j- i valeurs de la constante h telles que^ pour chacune d'elles, l'équation de Lamé
admette une solution particulière
M(m) = NP
qui possède les deux périodes 4<*>i et 4^3» Posons, pour abréger,
M(«, ) — Ml — NjP,, . . . , M(«,) = M,=zi N,P,.
£quation8 aux dérivées paktielles. 4^9
Le produit M4M2M3 satisfera à réquation aux dérivées partielles ; car le résultat de la substitution sera
MiMjMjN [/i(/i4-i)ptta-h/0(p«^— ^"y).
quantité identiquement nulle.
Cette solution simple, exprimée en fonction de x^j x^^ x^ sera un polynôme entier; car N étant un produit de facteurs de la forme d^^u^ NiNjNs sera un produit de facteurs tels que
D'autre part, P| Pj Ps sera un polynôme entier et symétrique par rapport aux quantités J3{/|, pu2jpuz' Or celles-ci sont les racines de l'équation du troisième degré
X - - ea dont les coefficients sont des polynômes entiers en X\^
•Cj, X\»
327. En associant les solutions simples qui précèdent, nous obtiendrons une série
qui résoudra le problème proposé si les coefficients Ck peuvent être déterminés de manière à satisfaire à Péquation de la surface
(70) ^CAMi^^Mi*'/ni*> = *(«„w,),
7/2^3*' représentant la valeur de M J*- pour u^ = u.
328. En admettant provisoirement que la fonction ^ soit susceptible d'un développement de la forme (70), il sera aisé d'en déterminer les coefficients.
43o TROISIÈXB PARTIS. — CHAPITEB IH.
Multiplions, en effet, régalité (70) parM^/' Ml/' (ptti — pih! et intégrons par rapport à U| de (1)3 à Uj + 4^i 9 ^t par rapport à U2 de coj à CO3 -f- 4 Wj ; Tintégrale double
C M^*^ Mi*' M V' MV' ( pu, - pM, ) dui du^,
qui multiplie Ck/n^^\ est le déterminant des quatre intégrales simples
Il ^'- f^^T Mi*'pa, du,, I, = fu^i^ yLfpu^du^, Ji=: Ç^\f M[^du,, J,= Tm;'» M«,*^ ^a„
Ce déterminant est nul si i^k.
En effet, M^'\ M^*- sont solutions de deux équations de Lamé différentes, telles que
du
du- On en déduit
[n\n'-^ i)pu'r- A']M(*^ — o.
[n{n 4- I) — n'(/i' -h i)]M(')M(*)pa -i- (A — //) M{')Mf*^ ^M^') éf-M<*>
ûfa L ^u du J
Intégrons de (02 à 0)2 + 4 <^4 • L^^s fonctions M admettant la période 4^i? l'intégrale du second membre sera nulle, et il viendra
Intégrant de (1)3 à (O3 + 4^2 on trouverait de même
[n{n -4- I) — /l'K 4- 1)] I, 4- (h — h')h = o, d'où
Ijjj— ljjj = 0,
à moins qu'on n'ait à la fois n=z n!, A = A', d'où i = Ar.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉBS PARTIBLLES. f\3l
Calculons ce même déterminant dans l'hypothèse où i = A*. "Les fonctions M^*^M^*^pa, Mf*^M^*J admettent les périodes 12 (O4 y 12 <02 ; elle sont paires et n'ont de pôle que pour u = o. Uécomposées en éléments simples, elles seront donc de la forme
1VI(*) M<*>pa "-- a^- 4- «Jpw -h a*p' u
Intégrant de co^ à coj -h 4<»>« j il viendra
En intégrant de (03 à 0)3 -H 4^21 un aurait de même
1, - 4a*co, - 4air,„ J, ■= 4?^a), - 4 PJt),,
et, par suite,
On aura donc, pour déterminer ca, la formule
329. Il reste toutefois à établir que la fonction arbitraire ^{Ui, U2) admet effectivement un développement de la forme (70). Nous y parviendrons par les considérations suivantes :
Soient j^i, X2^ x^ et r, i/|, u^ deux systèmes de variables liés par les relations
Ou en déduit aisément
43a TROISIÈME PARTIS. — CHAPITRE HI.
Ces équations représentent une sphère et deux cônes homofocaux, qui se coupent à angle droit.
A chaque point réel Xi, Xj-, x^y correspondent: i^ ane seule valeur de r ; a^ deux racines de Téquation
ea
dont la première, X| = pe^,, sera comprise entre e^ et ^i ; e' la seconde X2 ^= p W2 entre e^ et et ; 3° deux systèmes de valeurs de i/|, 1/3 tels que Ut soit compris entre Oj et (û2 4- 4^1) et ^3 entre (1)3 et 0)3 4- 4<«>a*
Réciproquement, si le point (e/|, 2/3) parcourt le domaine ainsi défini, le point (xty X2, ^3) décrira deux fois la sphère de rayon r qui a l'oriçine pour centre.
330. Si Ton prend r, 2/4,1/3 pour variables indépendantes, Téquation du potentiel
dxf
se transformera en
d/'* ^\àxa/ àu\ Zj\àxa/ âul ^\àxai
â*V Y dr du,
dr dui Z^ dxoi dx^
-j X -\ X i j X ? rr: 0.
(?r ^ (?a:J du^ ^ dx\ dUi ^ àxl
Les termes de la seconde ligne disparaissent, car les surfaces r= const., W| = const., Wa = const. étant orthogonales, on a
dr âui
L^équation
âXa àXa
xl^r*
ÉQUATIONS AUX DÉRITÉES PARTIJCLLBS. 433
donne y d'autre part.
d'où
D^aulre part, les équations donneront, comme au n° 324,
2u \à-ra) " 4/X, S, ' Zddxl- '''
en posant, pour abréger,
/X r^ (X - e.)()- - e,) (X - c,), S, =^ (xtI"^)» "
Or ou a ici
On a donc (inalement On trouvera de même,
ZdW-^^'a/ ^'(P«i — I^Wî)' Z^ C^^a
L^ëquation du potentiel aura donc pour transformée la suivante :
dr'^ r^(pUi — pux)\dul àu\ J r ôr
J. — Cours, III. aS
434 TROISItlB PàKTIB. — chàpitu ni.
ou
Cela posé, on sait (t. II, n** 236) que pour chaque valeor de rentier positif n il existe 2/i-f-i fonctions Y^ linéairement distinctes et définies par cette double propriété :
1° Les fonctions r"Y,i, {oiï r = ^ x^ -{- y^ -\- z^) sont des polynômes homogènes d'ordre n en :P|, x^y x^] a® ces poKnômes satisfont à Téquation du potentiel.
Mais nous venons de voir qu'à cette même valeur de a correspondent an-Hi valeurs de h pour lesquelles Téquation de Lamé
-^ — [n(/l-4-l)pM-hA]Mri:0,
admet une intégrale doublement périodique de la forme
