M=:NP
Les produits correspondants
seront précisément les a/i-hi fonctions Y^ exprimées au moyen des variables U|, u^^
En effet, soit A: le degré du polynôme P; N| N2 sera un produit de n — k facteurs tels que
I Xf
D'autre part, P| P2 sera un polynôme en jdW|, pu^ symétrique et de degré n par rapport à ces deux quantités ; ce sera donc un polynôme d'ordre n en pwj pu^ et pu, -hpaj. Mais les équations
permettent d'exprimer les quantités
en fonction linéaire et homogène des trois quantités *^-
Donc la fonction r^MiMazirU sera bien un polynôme homogène et de degré n en a:^, x^^ x^» Il reste à s'assurer qu'elle satisfait à l'équation (71).
Cette vérification est immédiate, car on a
— z=:[/i(/H-l)pWj-+- A]U,
/•* -T-r 4-2/--T— i^:/l{/l--l)U-H2/lU:=/l(/l-M)U. c//-* or ^ '
Le développement de la fonction arbitraire $ en une série de termes M|, M2 sera donc possible, aux mêmes condition^ que le développement en série de fonctions Y„; ces deux développements, identiques au fond, ne diffèrent l'un de l'autre que par le choix des variables indépendantes.
331. Refroidissement d une sphère homogène, — Soit r le rayon de la sphère ; nous aurons l'équation aux dérivées partielles
dt ~ ^ \dx^'^ dy^ "^ dz^ avec la condition initial^
U — / pour ^=:o. 3?" + j'-t- 5'< r*;
/étant une fonction donnée de x^ y, s, et la condition à la surface
-r— cosa-h — cosp-h -^co3Y-t-HU=:o pour a7'H-y'-4-s*±=r-,
a, ^, Y étant les cosinus des angles formés par la normale extérieure avec les axes coordonnés.
Remplaçons Xj y, z par des coordonnées polaires p, 6, i. L^équation aux dérivées partielles deviendra (t. I, n® 139).
dU ,A^^ I (^ L^ ^^ cote d\}
^^^^ dt ~'^ \ùf "^p*sin«Ô ÙY "^p* dO^ "^p dp "*" p« dÔ
La condition initiale prendra la forme (73) U -/ pour t — Oy p<r,
et la
condition
à la
surface
deviendra,
en
remarquant que
Fon a
CCS a -z
or
cosp
ày à?'
cos
as
(i:\) — -i-HU=:o pour p = r.
332. Pour déterminer une solution simple qui satisfasse aux équations (72) et (74)» posons
Ur=:e-«V'Y„R,
p désignant une constante, Y^ une fonction de Laplace et R une fonction de p. Ces équations deviendront, après qu'on aura chassé les dénominateurs et supprimé les facteurs com-
muns.
/ .rf»R rfR r , ,
(7()) -T — hHR=:o pour p = r.
L'équation (76) rentre dans la catégorie de celles que nous avons ramenées à l'équation de Bessel (191). Elle admet, comme solution particulière l'expression
iP?) "J. . liPP)
que nous désignerons par Fn{pp)- Celte fonction est le produit de p^p" par une série^ procédant suivant les puissances entières de />^p^.
II reste à satisfaire à l'équation aux limites (76). Il faut pour cela que p soît une racine de Téquation transcendante
^ hïi¥„{pr) — o.
Le premier membre de cette équation est évidemment une fonction entière de p^ si /i = o ; une semblable fonction, multipliée par p", si /i>o; supprimant, dans ce dernier cas, la racine parasite /? = o, qui ne fournirait qu'une solution identiquement nulle, nous obtiendrons dans tous les cas une équation de la forme
La fonction F„(/?p) s'annule évidemment pour p = o si n >> o; et, si n = o, sa dérivée s*annule; on aura donc, dans tous les cas, en désignant par /> et q deux valeurs quelconques du paramètre/?.
F„(.P)%^^^-F„(^p)^=o pour p = o,
et la même relation aura lieu pour p == r, si p et q sont racines de l'équation (77).
L'équation (76) est d'ailleurs un cas particulier de l'équation (36) considérée aux n*** 306 et suivants, dont elle se déduit en remplaçant V, x, r, X par R, p, p^, • et donnant kk^ g^ l les valeurs particulières p^, p^, n(/i + i). On en conclut :
i^ Que les valeurs de p^ qui .satisfont à l'équation c7/,(/>^) = o sont toutes réelles, positives, inégales et en nombre infini;
2** Qu'en désignant par />% q^^ . . . ces racines, l'intégrale
K;7=/VFn(/>P)Fn(7P)rfp,
438 THOISIÈMB PARTIE. ~ GHAPITRB III.
sera nulle, sî />' diffère de q^] soit, au contraire, ç =P', on aura
"""" L <fP* <^'- <^'-0p* J
~7pl dp Or "^P' drôp y
