Posons, d'autre part, comme au n
On a vu que P^'(ix)cos/n^, P^([jL)sin/wè sont des fonctions Y/, ; on satisfera donc à la fois à l'équation aux dérivées partielles et à la condition à la surface par les solutions simples
e-^'/'"P?(lx)cos/n^;F;,(;?p),
e-V'P-(ix)sin/n^;F„(/?p), et plus généralement par la série
2S2e-«V'PJ'(|i.)(A,„„^cos/n^H-B,;.„^sinm4;)F„(/?p),
où les A, B sont des constantes arbitraires, et les sommations s'étendant :
I** Celle par rapport à /i, à toutes les valeurs entières de o àoo; 2** celle par rapport à m, aux valeurs entières de o à /i; 3® celle par rapport à /?, à toutes les racines positives p de l'équation TSn{p'^) -~ o.
334. Cherchons à déterminer les constantes A, B, de telle sorte que la série satisfasse à la condition initiale
(78) SSSP,7(ix) A;„„p cosw^; -h B^^p sin m^) F„(/?p) =zj ,
pour tous les points intérieurs de la sphère, c'est-à-dire pourp50<r, [ji^— 151, ^"^o^zTz.
Soit m', /i', // un des systèmes de valeurs associées des paramètres m, n, p. Pour déterminer Am'n'p'y multiplions l'équation (78) par cos m^^d^ et intégrons de o à 211. Tous
ÉQUATIONS AUX DÉRtTtlS PARTIBLLBS 439
les termes du premier membre donnent une intégrale nulle, sauf ceux qui contiennent cosm^^. On a, pour ceux-ci,
, ,1 ,, > ^ I I, SI /n'>o,
il viendra donc
.lit
Multiplions cette égalité par P7'([jL){/pi et intégrons de — I à -i- I . Tous les termes du second membre donneront une intégrale nulle (319), sauf ceux où /i = n\ pour lesquels on a
il viendra donc
la sommation ne s'étendant plus qu'aux valeurs de p correspondant à la valeur n' de l'entier n.
Multiplions enfin par p^F(/>'p)rfp et intégrons de o à r; tous les termes du second membre donneront une intégrale nulle, sauf celui où /> = /?', et l'on aura finalement, pour déterminer Km'n'p'j l'équation
r f f /cosm'+P?'(|^)p'F(/?'p)^^rfHLt/p
On trouvera, par le même procédé, pour déterminer ^m'n'p'^ l'équation analogue
r f f /sinm'4;Pr(||x)p«F{yp)^i.6r|x^p
Substituons, dans la série (78), les valeurs que nous venons de trouver pour les coefficients, et accentuons les variables d'intégration, afin de pouvoir faire rentrer sans ambiguïté sous les signes dMntégration les facteurs qui leur sont extérieurs; nous obtiendrons comme valeur initiale de U l'expression
335. Mais il reste à prouver que, en additionnant les termes de cette série triple dans un ordre convenable, 00 trouvera bien pour somme y(t|^, u, p).
Laissons d'abord n eim constants, et bornons-nous à faire varier p de manière à lui faire prendre successivement pour valeurs les diverses racines positives de l'équation
supposées rangées par ordre de grandeur croissante. Nous aurons à déterminer la valeur de la somme
(80) ^J^fiï^il}p'*F„{pp)F,ipp')d?',
pour les valeurs de p comprises entre o et r. Nous verrons qu'elle est égale ày(t|;', [x', p) [pourvu que cette expression, considérée comme fonction de p, soit continue et ait une variation limitée dans l'intervalle de o à r, quels que soient ^ et jx'].
La somme ( 79) se réduira dès lors à la somme double
qu'on sait être égale ^/{^y |x, p) [320].
Tout revient donc à établir ce que nous avons annoncé pour la somme de la série ( 80).
336. Ea cessant, pour plus de simplicité, de mettre en évidence les quantités ^', jx', n qui conservent une valeur constante dans toute cette recherche, cette expression peut s'écrire ainsi :
La fonction F{pp) satisfait à l'équation diflférentielle
et, comme elle est symétrique en p et^, on aura aussi ^^'^ ^f*^^^ +[/»*?»- «(« + i)]F(/'P) = o. On a de même
En combinant ces deux équations, on trouve
on posant, pour abréger,
<f(p)=--P*\F{pp')^V(pp)-F{pp)^F(pp') = p*[pF{pp')F'(pp)-p'F{pp)F'(pp')].
on aura, par suite,
(82) F{pp)F(pp') = ^^^—^.
Nous avons trouvé d'autre part
K,, = i:l fî^) ^?^) - F(pr)^^l .
'^'^ 2/; L ^P ^^ or dp J
44^ TBOISifcMB PARTIE. — GHAPITBB III.
Pour transformer cette expression, nous remarquerons qu'on a
or r \Mr / r dp
ce qui permet de mettre Y^pp sous la forme
et de donner à l'équation à la surface
{ôYipr) „. ^ — ^-r- -hHF(/?/-)-o,
la forme suivante :
(84) /,^?^+HrF(/)r)=o.
Désignons par if[p)\e premier membre de cette équation ; l'identité
(83) ;,^^£d+HrF(/,r).= 4-(/>),
étant différentiée, donnera
Enfin, pour p = r, Téquation (8i) peut se mettre sous la forme
l n^ J^(P^) , à¥(pr) 87) \ àp^ dp ^ dp
( -H [/?V*— n(/n- i)] F(pr) = o.
Tirons des équations (84), (86), (87) les valeurs de ^(P^)"» — \ > -T-p — \^ — pour les substituer dans (83), il viendra
en posant, pour abréger,
^î,.« ^n{n-hi) — Hr(i — lîr) — Q(/?).
On aura^ par suite,
F(pp)F(pp') ^ 2Q(p)o'(p)
337. Il est aisé de voir que cette expression est le résidu, pour le pôle z = p, de la fonction
XV ) r(p''-^p^)zHHz)
En effet, posons z =p -4- A; on aura
Le résidu cherché sera donc ^Q{P)9'(P)
Or la quantité entre parenthèses est nulle. En effet, les équations (85), (86) et (87), résolues par rapport à -r-p — -t — >
^^^^ F(/>/-), donnent
FrnM- (J-H/-)<Kpl+;>4''(/')
444 TROISIÈME PABTIE. — CHAPITRE ni.
Substituons celte expression et sa dérivée dans TéquatioD (84)* II viendra, en tenant compte de ce que ^{p) csi nul,
^L ~^{p) QM/>) J
Qip)
ou, en réduisant et divisant par ^^r^v — ^^
OLP vKi^ ^ Q, aO(^ ^ ,.
ViP) P
338. On remarquera d'ailleurs que, pour ;s = o, la fonction x{z) n'est pas infinie, car ^{z) contient le facteur s^ qui figure au dénominateur. Donc x(^) ^^^ d'autres pôles que les racines/), et l'intégrale
^Jxi')d=,
prise suivant un contour fermé quelconque situé à droite de Taxe des y, sera égale à la somme
F{pp)F(pp')
Kpp
bornée à celles des racines p qui sont contenues dans ce contour.
Les termes correspondants de la somme (8o)' donneront l'intégrale double
(88) ff {?')?" dç>'^^-Jx(=)dz.
339. Prenons pour contour d'intégration {fig. 9) le rectangle MNPQ qui a pour sommets les points Bt, A-i-Bi A — B/, — B/, A étant une quantité réelle de la forme
OÙ k est un entier, et B une autre quantité réelle, très grande par rapport à A. En faisant croître indéfiniment Tentier A:, ce rectangle contiendra un nombre de racines de plus en plus grand; on obtiendra donc la somme (80)' en cherchant la limite de l'expression (88) pour A: =: 00,
Pour établir que cette expression a pour limite /(p), il nous suffira de faire voir : i® que l'intégrale
OÙ h est une quantité variable entre o et r, reste constamment inférieure à une limite finie; 2" qu'elle tend uniformément vers ^ lorsque k croit indéfiniment, tant que b restera
Fig. 9.
If
fi
inférieure p — e ou supérieur à p H- e, e étant une constante quelconque.
En effet, l'intégrale ( 88/ étant décomposée en deux autres, où l'intégration relative à p' s'étend respectivement de o à p et de p à r, ces intégrales partielles auront respectivement pour valeur (t. II, n** 221)
i/(p-o) et i/(pH-o).
Leur somme sera donc égale à /(p), puisque celte fonction est supposée continue.
Nous remarquerons d'abord que )r (^) étant une fonction
impaire, les éléments de l'intégrale I '' " ^ . prise sur le
côté MQ se détruisent deux à deux. En outre, 7^(5) prenant des valeurs imaginaires conjuguées en deux points symétriques par rapport à l'axe des or, le reste de la ligne d'intégration relative à z pourra être borné à sa moitié supérieure KNM, à la condition de doubler la partie réelle et de supprimer la partie imaginaire du résultat obtenu.
