Posons pour abréger

nous aurons (217) pour F(5) = 3 *J i(s) une expression de la forme

6, 9| étant des polynômes en ^- La dérivation donnera pour

F'(2), F"(5) des expressions analogues

(91) F'(a)=-?^^^^^:^\a + eO+cos(c-X)0„

(92) F'(-c) nz- ^J^'zll (a H- O4) H- sin(5 - X)0„

O2, . . . , Os étant encore des polynômes en — •

Soit 5= M-h ^i, t étant positif ou nul. Le module des

EQUATIONS AUX DÊRIYÉBS PARTIELLES. 4^7

quantités

sin(5 — X) -^ ^ .- >

sera compris entre

et, par suite, moindre que e'. En particulier, si t est très grand, il se réduira sensiblement à ^e^.

D'ailleurs, si le module y/^^-H t^ de z est >• i, les modules des polynômes 0, • • • , 0$ seront limités; et si \z\ est

très grand, ils seront du même ordre de grandeur que ; — tt-

Les modules des quantités F(-s), F'(5), F"(z) seront donc, si t est très grand, sensiblement égaux à

et seront, dans tous les cas, moindres que

^ÎT'

/ désignant une constante.

Ce dernier résultat, que nous venons d'établir en supposant |z|>>i, subsiste évidemment encore si |^|^i; car,

dans cette hypothèse, j — r est au moins égal à i, et, d'autre

part, les modules des fonctions entières F(z), F'(5), ^"{z) restent inférieures à une limite fixe.

341. Il est maintenant aisé de trouver, soit la valeur approchée, soit une limite supérieure du module de chacun

448 TROISlbMB PARTIS. — CHAPITRE III.

des facteurs de la quantité

qui figure dans l'intégrale (89), lorsque |.5| est très grand, ce qui a lieu sur toute la ligne d'intégration.

On a tout d'abord — ^ < 2. En second lieu,

Q(5) — r«;5*— n(/i -h i) — Hr(i — Hr),

a son module sensiblement égal k r^\z |^. On a, d'autre part,

*(-)=^— ^;^ hHrF(rjs)

=:rz¥'(rz)-^UrF{rz).

Sur le côté horizontal du rectangle, où 5 = ^^ -4- B£, u variant de o à A et B étant très grand, les modules de F{rz]'.

a e''^ F'(rz) seront sensiblement égaux à ; — , et l'on aura sen-

siblement

Sur le côté vertical, ou z = A -{- ti, t variant de o à B, on aura, en remplaçant A et X par leurs valeurs,

rz — X = r A — X m- r/t =: ( 2 A* — ï)ir H- rti^ d'où

sin ( r ^ — X ) = — cos r/e, cos (rz — X ) = sin rti, et, par suite,

^(z) — rz -^- [a -h ej(rjs)] -h sinrU^^{rz)^

„ ( sin rti r /v/ v-i -^ , ^1

-i-Hrj — rr~L*'^ ^('''^Xl — cosr/tOi(rs)>. [ rz \

On en déduit

(gS) 4''(s) = a*cos*rft(i -h M -h M' tangrf/ + M'tang'r/i),

M, M', AF, M"' étant des polynômes formés avec les puissances négatives de A-\-ti; A étant très grand, ces polynômes ont leurs modules très petits; d'autre part, lorsque t "varie de o à oo, tangr/< varie régulièrement de o à <; donc on aura sensiblement

I4;»(5)| -:= a* ces* r/l= -7-(c'-'4-^'"')*> T e""'.

Considérons enfin le dernier facteur,

P\(^) ^ Sp¥(p'z)F^(pz)--p'F(pz)r{p^z)l

II peut se mettre sous la forme

P' - F{p^z)F'{pz)^F(pz)F'(p'z)

,F(p'z)-F(pz) p' rP„,. , ,

p'— ^^^- — , — 1I—L=-J- — - I F^(a:z)zdx.

?-p 9—?Jp

expression dont le module a pour limite supérieure

pVI'sI,

|i. désignant une limite supérieure du module de F^{xz); or ce dernier module est moindre que

car x^ variant entre p et p', qui sont eux-mêmes compris entre o et r, sera <C r, mais >> -^'

On a donc pour limite supérieure du module cherché l'expression

P J. — Cours, III. 29

45o TROISIfiMR PARTIS. — CHAPITSB III.

Le même procédé, appliqué à l'expression

donnera pour son module la même limite.

Substituant pour ces quantités, ainsi que pour F{qz) F'(p<s), • . ., les limites de leurs modules, il viendra

(P'^-P*)-S P^-l (P-P')pl-I'

D'ailleurs, p' étant ^r et |s| étant très grand, le second terme de cette expression sera négligeable par rapport; au premier.

342. Il résulte des évaluations qui précèdent que, sur le côté horizontal du rectangle où / = B, et où |5| est sensiblement égal à B, l'intégrale (89) s'annule pour B =00; car on aura

p. désignant le maximum du module de p'^x(^)' lequel, d'après ce qui précède, ne peut surpasser sensiblement la quantité

qui s'annule pour B = 00, car elle contient en dénominateur l'exponentielle e^'"'9}^.

Considérons maintenant l'intégrale suivant le côté vertical, laquelle, pour B = 00, se réduit à

Elle a une valeur limitée, car son module est au plus égal à

r^dt<L.jydt,

[M. désignant une limite supérieure du module de p'*)r (A-j- //). Or I 5 I étant ici égal à ^AM^, |J^ ne peut surpasser sensiblemeat l'expression

laquelle donne une intégrale finie, à cause de la présence du facteur e^''~P^' au dénominateur.

INous allons enfin démontrer que l'intégrale, suivant le côté vertical, tend uniformément vers j pour A == oo, quelle que soit la valeur constante ou variable assignée à b,

A cet elfet, nous remarquerons d'abord que l'on peut supposer 6> -.-• ^^ efiet, si b était <! -;-> on pourrait décomposer le champ d^ntégration relatif à p'en deux autres, s'étendant l'un de p à Y' l'autre de -^ a b. Le module de l'intégrale relative à cette seconde partie du champ est au plus égal à

et a fortiori ^ -r 1 [>• dt^ quantité indépendante de 6, et qui

s'annule pour A := ao. On n'aura donc à considérer que la première partie du champ.