cos(p' — p) 5 E" 4- ces [(p' 4- p )5 — aX] E
E, E', . . . étant de la même forme que D, D', ....
D'ailleurs, pour p' = p, <f{z) s'annule identiquement; donc E', E'', E"' s'annulent. Si donc une de ces fonctions contient la fraction simple
py ,/v^ij-HV-»-i
elle contiendra son associée
pVp'lX^ll-HV^-l
Cette fraction, ajoutée à la précédente, donnera un résultat de la forme
On aura donc
fiQUÀTIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^3
F', P^, F"^ étant des sommes de fractions simples, de la forme
^Py
Substituons, dans les arguments des lignes irigonométriques, la valeur z = A.-^ ti et séparons la partie réelle de la partie imaginaire au moyen des formules d'addition. Remarquons enfin que aX ne diffère de arA que par un nombre impair de demi-circonférences ; il viendra
^ L-i- cos(p'— p)A sin(p'— p)/fj I 2 ' ^ J
r- cos(2r-p-p')Asin(p'-^p)/n /aj A
L sin(2r-p-p')A cos(p'-+- p)tiy^ ^\ 2 ^ V
r cos(p'— p)Acos(p'-p)fn
[ sin(p'— p)Asin(p'-p)f/J^P ^^
^r.eos(2r--p-p')Acos(p|^-p)jn ^ ^^^ L— sm(2r — p — p')A sin(p'-h p)^«J^'^ ^'
344. Chacune des fractions simples qui figurent dans E. F', F'', F'", considérée comme fonction de p' et de /, est de la forme
Elle peut s'écrire
ciA — Uy V, ., c'A^-'"^'~
Chacun des termes de cette somme est le produit d'une puissance de {'par une fonction de p', A, t, continue, réelle et positive dans tout le champ d'intégration. Cette fonction sera croissante de p' = p à p' = &, si 6 < p. Si 6 > p, on pourra ia décomposer dans la différence des deux fonctions partielles
également continues et positives, dont la première ne varie pas avec p', tandis que la seconde est croissante de p kb.
D'aîUeurs A et / étant au plus égaux à y/A^-f- t'^ et p' au moins égal à -r- dans tout le champ d'intégration, le module de la fonction considérée aura pour limite supérieure
et, si 6 !> p, les modules des deux fonctions partielles dans lesquelles on la décompose seront moindres que
pl^A^
Ces diverses fonctions tendent donc uniformément vers G pour A = 00, quels que soient p' et t. D'autre part, la fonction
Q(^) ,, n(n-^i)^Hr(i-Rr) __
est de même égale à r^, plus la somme de quatre terme*^. dont chacun est le produit d*une puissance de i par une fonction positive de < et de A, qui tend Uniformément vers o pour A = 00, quel que soit t.
On a enfin
^^{z) = a» cos'/7t(i -h M H- M' tang/-/i + M' tangV^O-
Chacune des fonctions M, M', . . . , étant une somme de
termes de la forme
s*exprimera par une somme de termes dont chacun est le produit d'une puissance do i par une fonction continus et positive de t et de x\, qui tend uniformément vers o pour A = 00.
D'ailleurs, lang/Yj est le produit de i par une quantité comprise entre o et i. On aura donc
I 4- M -+- M' tang r^i 4- M" tang« rti=i-hP-h PV — P' — P*/;
P, P', P", P'" étant des fonctions continues et positives qui
tQOATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 4^5
tendent uniformément vers o pour A = oo, l'expression
r^Pir-TM' tangAâ 4^M' tangV/t "^ (i -f-P — P" )*-+-( P—P'») sera évidemment une fonction de même forme.
345. Réunissant les résultats précédents, on trouve pour l'intégrale cherchée
l'expression suivante
r sin(p'--p)A /•- cos(p'-p)ft n
X P'— P 1 cosVit P [a
P+PJ
+- r*cos(p'-p)Arfp' rii"(p'-pU' ,ri^^]^,
cos(p'-^p)<t ,; --(-R,
/sin(2r — p—'p')Xdp' j -jp <=os(./--p-p')Arfp'jf ___.p'^,^rf. /cos(p'-p)Arfp'/*?''^(P'-?>''-' ""'- ■" I
il/ -^P
cos* r^*
— / sin(p' — p)Ac?p' / — ^-;; -p'- -rf^
— / /'nq^^r — p — p')Ac?p' /
cos(p'-^ o)ti , R,
cos-/7^
— / sin(2r — p — p')Aûfp' / — ~j-~^ — p'~-dt
R, R4, R2, R3 étant une somme de termes dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonction de p', t, A, continue, positive et bornée, laquelle croît (ou tout au moins ne décroît pas) lorsque p' varie de p à 6, mais tend uniformément vers zéro quel que soit p pour A = ao.
456 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE lU.
D'ailleurs p' et -7^ — sont des fonctions de p', finies et con-
tinues; elles sont croissantes de p à 6, si fr]> p; dans le cas contraire, elles sont la différence de deux fonctions finies, continues et non décroissantes
p'=:p-(p-p'), p-hp' 2 \2 PH-P'/
Enfin, les fonctions cos(p' — 9)ti, — i — -,- — — sont
croissantes de p à 6.
Donc chacune des intégrales relatives à f, qui figurent dans la formule précédente, porte sur une somme de termes dont chacun est le produit d'une puissance de i par une fonclion de p', A, t positive, bornée et continue, laquelle ne décroît pas lorsque p' varie de p à 6, mais tend uniformément vers o pour A = oo^(à moins qu'elle ne soit indépendante de A, ce qui arrivera pour les termes des quatre premières intégrales qui ne proviennent pas de R et de R|).
L'intégrale de chacun de ces termes, prise par rapport à t^ sera manifestement le produit d'une puissance de i par une fonction de même forme, que nous désignerons par /(P',A).
