M. Hcrmite a fait cette remarque intéressante, que
pour effectuer le calcul des poljnômes ÎI, M, N, P, Q il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation F(x) = o.
En effet, Il est le quotient de la division de/(j;) parF(.r). D'autre part, on sait, par la théorie des racines égales, que V est Je plus grand commun diviseur de F(jr) et de sa dérivcc (divisé, s^il y a lieu, par le coefficient de son premier terme); il s'obtiendra donc par de simples divisions. Enfin, si X csi le coefficient du premier terme de F(;r), on aura
FO) -- X(.r — a)»(.r —b)?...— ÀPQ, d'où
Orr
xr
Q s'obtient donc également par une division.
Reste à déterminer M et N de manière à satisfaire à l'équation
f(.T) „ N /!Vf\' „ \ M'P-MP
Multipliant les deux membres parF(j;):-^ÀPQ, il viendra /( u)-^n F ( .r ) 1 >. PN 4- A QM' - À M ^-^^ .
Or f{x) — n F{x)f reste de la division de /(x) par ¥{x). est un polynôme de degré n — i ; il en est de même de chacun des termes du second membre; car le dernier terme, bien que se présentant sous une apparence fractionnaire, csi entier; en effet, P' étant divisible par
QP' est divisible par P.
En identifiant les deux membres de l'équation précédente, on obtiendra un système de n équations linéaires pour déterminer les coefficients des pol)'nômes M, N; ceux-ci soni aussi au nombre de n; car M et>N sont respectivement dtdegrés n — r — i et /• — i .
Nous pouvons ainsi, par des opérations toutes rationnelle>,
INTfiGMALVS INDÉFINIES. 7
«lécomposerla fraction ]^^ — ~ en deux parties, l'une II -|- ( -jj j
immédialement înlégrable, l'aulre ^ dans laquelle le dénominateur n^a plus que des racines simples. Si N est identiquement nul, cette seconde partie disparait,
et l'intégration est terminée. Dans le cas contraire, la frac-
N lion ^ ne peut être intégrée qu^en la décomposant en fraclions simples, ce qui nécessite la résolution de Téquation 0 = 0.
8. L'intégration des fractions rationnelles peut encore être présentée de la manière suivante.
Nous avons vu (t. 1, n° SIS) que toute fraction dont le dénominateur est un produit de facteurs premiers entre eux peut être décomposée en une somme de fractions partielles, nyant respectivement ces divers facteurs pour dénominateurs.
Cela posé, soit ^ la fraction considérée, et soient P| , P2, ...
les produits des facteurs binâmes x — a^ x — b. ... qui correspondent aux racines simples, aux racines doubles, etc. «le F, de telle sorte qu'on ait
F = P.PÎPJ....
On sait (t. 1, n** 210) que les facteurs P|, P-j, . . . peuvent être obtenus par des opérations rationnelles. D'ailleurs chacun d'eux n'a que des racines simples; enfin ils sont
premiers entre eux; on pourra donc mettre ^ sous la forme
d'une somme de fractions
M. Mj
Pt PJ
qu*on aura à traiter isolément. Nous avons donc ramené la question de l'intégration au cas d'une fraction
OÙ le dénominateur esl une puissance d'un polynôme 1^ ii^avanl que des racines simples.
L'intégration par parties va nous permettre de ramener ce problème au cas où |jl = i. Supposons en effet |jl > i .
Le polynôme P étant premier à sa dérivée, on pourra déterminer deux polynômes A, B tels que Ton ait AP 4- BP' := i . On aura donc
M ^JM^-^-BI^» A M HMP^
Or TT- est la dérivée de -,.. . : on aura donc, d'ai)rr>
la formule de T intégra lion par parties et, par suite, en posant pour abréger
I ÎA
HM
(l — |x)Pl^-»
pti-i
et en intégrant
fU
BM ru^
jx)p{^-i ^ J PK-1 ''-'''
On a ainsi ramené le calcul de Tintégrale cherchée à celui d'une intégrale analogue où l'exposant de P est réduit d'une unité. En changeant [x en |jl — i et M en M| dans cetie formule, on trouvera de même, en posant
(BM,)'
AMj
2 IJL
BM^ /• M,
- 11.) Pi^-'"^J pv--*--^'
et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'exposant de P soit réduit à l'unité, auquel cas on devra recourir à la décomposition en éléments simples, qui donnera la partie logarithmique de
l'intégrale.
INTfiGRALUS IKDÉFINIBS. 9
