Considérons plus généralement l'intégrale

OÙ L désigne une ligne continue sans point multiple, F cl G des fonctions entières.

Donnons à x une valeur particulière ^; et soient I^i, ^2? ••• les racines de l'équation

Chacune d'elles variera, comme on sait, d'une façon continue avec Ç. Si aucune d'elles n'est située sur la ligne L, l'intégrale considérée aura pour les valeurs de x voisines de Ç une valeur déterminée^ et représentera une fonction synectique

agi SBCONDB partie. — chapitre y.

de x, dont les dérivées successives pourront s'obtenir par la

dérivation sous le signe f.

î280. Supposons, au contraire, que, poura: = ç, Tune des racines Ç| , Ça^ •••? P^r exemple Ç|, soit située sur L. Admettons d'ailleurs que Çi ne coïncide pas avec les extrémités a, b de la ligne L, et que ce soit une racine simple de

l'équation (7), de telle sorte qu'on ait- -G(Ç|, 5)<o- L'intégrale 1 sera indéterminée; mais, si l'on remplaçait

la partie mn de L voisine de l^^ par un arc de courbe peu différent mpn ou mqn (Jlff* 16), on obtiendrait deux nou-

velles lignes ampnb = L|, amqnb = L2, le long desquelles l'intégrale aurait une valeur déterminée. Entre ces deux

F(z. $) lignes, la fonction p — '■ — admet un seul point critique

z=^iy aux environs duquel on a

àF

Ce point est donc un pôle, auquel correspond le résidu

INTfiGAALES COMPLEXES* ^95

et Ton aura

D'aiiiears chacune de ces deux intégrales i , I variera

d'une façon continue avec x (aux environs de x == Ç).

A chaque valeur de x infiniment voisine de Ç correspond une quantité Zi, racine de l'équation

etinGniment voisine de 2^|. Supposons que jc varie de telle sorte que lorsqu'il franchit la valeur if z^J qui franchit an même instant la valeur ^^ , passe de la région mqn à la région mpn. L'intégrale s'accroîtra brusquement de la quantité aiîiA. Considérons, en effet, deux valeurs x\ af de œ infiniment voisines l'une de l'autre et comprenant entre elles la valeur Ç. Pour x = j?', Zi étant situé dans la région mqn^ il n'existe aucun point critique entre les lignes L et Li; on aura donc

et à la limite, l'intégrale du second membre variant d'une façon continue,

Pour x^=:x?'^ Z\ étant sitné dans la région mpn^ ce sont les intégrales suivant L et L^ qui seront égales, et l'on aura

hm / j^- w^dz— I j^ ^ dz,

Jr ^( z x) ' p7~^ — dz éprouvera donc, d'un càié à

Tautre de la valeur or = Ç, une discontinuité égale à q-jc/A.

281. Remarquons toutefois que x = ^ n'est pas un point critique pour la fonction analjlique que représentait PiDlégrale. Car si l'on suppose que la ligne L, au lieu de rester fixe, se déforme progressivement au moment où elle serait près d'être atteinte par le point variable Z|, l'intégrale prise suivant cette ligne mobile restera continue, ainsi que ses dérivées. Or on peut toujours éviter la rencontre entre h ligne variable et les points 2,, ^2? • • •? racines de l'équation G(z, x) = o, sauf dans les deux cas suivants :

i^ L'un des points ^i, ^2, ... tend vers l'une des extrémités a, b de la ligne L (lesquelles restent fixes);

2** Deux racines Zi , ^2) situées de part et d'autre de L, tendent à se confondre en une seule racine double.

On voit donc qu'à la condition de déformer à propos la

ligne L d'intégration, l'intégrale 1 , considérée comme fonc-

tion du paramètre x, ne peut avoir de points critiques que pour les valeurs de x pour lesquelles on a

G(a, j7) = o ou G(6, ^) = o,

ou simultanément

n f \ dG(Zj x)