II. — Intégrale de Cauchy
282. Soient f{z) une fonction qui dans l'intérieur d'un contour fermé R n'admette d'autres points critiques que des pôles; 'f (5) une autre fonction synectique dans l'intérieur de ce contour; nous allons nous proposer d'évaluer l'intégrale
Pour cela, cherchons d'abord à déterminer les points cntiques de la fonction 'f(^)4^-— situés dans l'intérieur de K-
Soil a un point quelconque intérieur à K; ç(^) étant synectique, on aura aux environs de ce point
D'autre part, si a n'est ni un zéro ni un pôle pour /(s), on aura un développement de la forme
/(5) = Ao-f- A,(:; — ûf) -h. . ., Aj,^o, d'où
/'(:;) — A,H-QAt(5— «) +. . .
Donc a est un point ordinaire pour '^(c;)*-^ — ^-•
Supposons au contraire que a soit un zéro de f{'Z), et soit m son ordre de multiplicité; on aura un développement de la forme
/(5) = (3 — a)'"[AoH- Ai(^ — a) 4- A,(« — a)2-h.. .], et, en prenant la dérivée logarithmique,
f{z) z — a Ao-hA|(5 — a) -h...
-4- (AqH- iu^i(5 — 6r) H-. . .,
'^i^)-7TTT— \ -f-Xo-hXi(;;— a)-4-....
Le point a est donc un pôle pour la fonction y(>g)' . J' >
et le résidu correspondant est m 'f(a).
Enfin, si le point a était un pôle de /(z) d'ordre de multiplicité /n, on aurait un développement de la forme
et Ton verrait de même que a est un pôle pour '^{z) —j-zt^ et que le résidu correspondant est — m f (a).
39^ SBCONDB PARTIE. — CHAPITRE Y.
Cela posé, on sait (267) que rintégrale cherchée est égale
f'iz) à la somme des résidus relatifs aux pôles de ç(^) . contenus dans rintérieur de K. Si donc la fonction f{z) admet dans rintérieur de K les zéros ûTi, ..., û/, •.. avec des ordres de multiplicité nix^ . . . , m,-, ... et les pôles a,, — ttA, ... avec des ordres de multiplicité [jl, , . . ., jjla, . . ., on aura
Si les zéros et les pôles sont tous simples, on aura
On peut s'en tenir à celte dernière formule, car la précédente s'en déduit en supposant que plusieurs zéros ou plusieurs pôles, primitivement distincts, viennent à coïncider.
r^(Z; 283. Supposons, en particulier, /(2) = 5l*; il viendra
Soit en second lieuyi[5) = i. Chacun des termes ©(«/)' <f{oLft) se réduisant à l'unité, nous aurons
M désignant le nombre des zéros ai et N le nombre des pôles a^ (comptés chacun avec son ordre de multiplicité).
