Remarque, — Soient z = x-\- yij f{z) =P-I-Q'»' on aura

4r^ rf:; := log( P -h Q / ) 4- const.

=zJLog(P*-hQ*)H-tarctang~ -4- const.

INTÉGRALES COMPLEXES. Sgg

£q intégrant suivant le contour K, le logarithme arithmétique reprend la même valeur aux deux limites. D'autre

part, arc tang ^ se sera accru de (A* — A^)i^, A* désignant le

nombre de fois que ^ passe du positif au négatif en devenant

infini, et k! le nombre des passages inverses du négatif au positif. On aura donc

28o. Application. — Soit le premier membre d'une équation algébrique. L'intégrale

donnera le nombre des racines contenues dans l'intérieur (le K, car la fonction /(s) n'a aucun pôle (à distance finie). Pour obtenir le nombre total des racines, nous prendrons pour K un cercle de rayon infini. L'inlégrale sera

— - I . dz — / ( £ + î),

£ étant infiniment petit pour z infini. On aura donc à la

limite

Je ntdz K "

1^'autre part,

Je ndz

Le nombre des racines est donc égal à /i, degré de l'équation.

286. Formule de Lagrawge. — Soient /(z) et f (s) deux fonctions synectiques dans V intérieur d'un certain con-

tourK; x un point intérieur à ce contour; cl une constante assez petite pour que la condition

soit satisfaite pour tous les points du contour K. Ces suppositions admises^ V équation

admettra une racine unique a dans ^intérieur du contour, et ^{a) sera donné par la série convergente

/ cp(a)z=9(j:)-+-a/(.r)9'(a:)H-...

La foncllon

n^aj'ant pas de pôles clans le contour, le nombre des racines a, «1, . . . intérieures au contour sera donné par l'intégrale

TUL hi,Z)

et, ])lus généralement, l'intégrale

sera égale à \ f (^0*

Pour évaluer cette intégrale, dont la première n'est qu'un cas particulier, développons en série le facteur

F{z) z — x—ol/(z) ■~'^j(;;--^)«-^»*

Celte progression géométrique étant uniformément con-

INTÉGRALES COMPLEXES. 3oi

'erg-ente sur K, on aura, en intégrant terme à terme,

vS-/

I 1 . 12 . . .n djc

jÎ?(^)[/(-^)]''['-«/(^)];

•^)-^-27:^,wS^^(-)t/(-)i'