I.2...(/^ — 1) ^^'*-»^^ ^'-^^ ^ / V yj

^ ^1.2. ..Ai £/x'*-^ '■•'^ /J T V /

Dans le cas particulier où la fonction cp se réduit à l'unité, coUe expression se réduit à i. Il n'y a donc qu'une racine a dans l'intérieur du contour, et l'expression précédente de I donnera la valeur de ç(«). Le théorème est donc établi

287. Théouème. — Soit S (s, u, r, ...) un élément de fonction analytique dépendant de plusieurs variables z, u, v, ... et tel que l'équation

admette une racine nulle ^ de V ordre n de multiplicité.

Pour un système de valeurs infiniment petites donné à w, r, . . . : I® l'équation

S{z, Uf V, . . .) =0

(iflmeitra n racines infiniment petites ; 2° ces racines salisjcront à une équation de la forme

oiï Pi, . . ., pn sont des fonctions rfe m, i», . . ., synectiques aux empirons du point (o,*o, ...); 3** enfin, on aura

identiquement

S (-5, u, r, . . .) =: FG,

G étant un nouvel élément de fonction analytique qui ne s^ annule plus pour 2 = « = p = . . . = o.

Mêlions en évidence parmi ceux des termes de la série S qui sont indépendants de u, r, ... celui dont le degré eu :> est le moins élevé; on pourra écrire

S =1 a;;«4- V A;.p^...:;*w?i'r. . .— az^-^r T,

les exposants a, ^, y, ... satisfaisant dans chacun des termes de la série T à l'inégalité

En effet, dans ceux de ces termes où j3, v, . . . sont nuls à la fois, a est au moins égal à n + 1 .

Soit d'ailleurs p une quantité fixe, moindre que le rayon de convergence de l'élément S.

La série S et sa dérivée partielle

étant absolument convergentes pour 5 = « = i' =... = p» les sommes

seront finies.

Nous allons établir qu'on peut assigner une quantité fixe a telle que pour tous les systèmes de valeurs des variables s. £/, (^, . . . qui satisfont aux inégalités

i^ l'équation 8(5, /«, i^, . . .) = o n'ait aucune racine doni

INTÉGRALES COMPLEXES. 3o3

le module soil^pX et^ps; 2^ elle ait n racines de module

Donnons, en effet, à z une valeur quelconque, dont le module p7^ soit compris dans Tintervalle de pX à pe ^ le premier terme de S(^, «, t>, . . .) aura pour module

|aIp'»T)«.

Quant au module du reste T, il sera au plus égal à

< / I Aocgy... [p*-*-P-^Y-H...r,a-»-(«-^i)(?+r+...).

Si Ton suppose X < 1 (d'où tj < 1), cette quantité sera au plus égalera

On aura donc

|S(js, M, (',... )|>|«|P'*TQ ''—<yi'*"*-*5^'*[|«|p'*—'ni].

Si donc X est choisi moindre que - — —^ il en sera de même a fortiori pour r,, et S(3, t/, p, . . .) ne sera pas nul.

288. Notre premier point étant ainsi établi, cherchons le nombre des racines de Féquation S(x?, u^ r, . . .) = o, dont le module est moindre que pX (et, par suite, moindre que pe). Ce nombre est exprimé par l'intégrale définie

as

/ai S

prise suivant un cercle C de rayon pX décrit autour de l'origine comme centre. Or, d'après ce qui précède, on a pour

tout point de ce cercle

I T I = aX»+i

3o4 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE T.

et, par suite,

az" J

6 étant une quantité dont le module est au plus égal à

dX"-*-*

On voit de la même manière qu'on aura

dTÏ âz

et

âz

/laz'-^

âT

naz'^~^ '

6' étant une quantité de module au plus égal à

L'intégrale à calculer sera donc égale à

I Çnfiz n-0'___i Çndz i TO'

iTzi j z i-h6 '2TziJ z '2Tzi J I

0 ndz

Le premier terme a pour valeur n. Quant au second, il sera nul, si son module est < i ; car on sait d'avance que la valeur de l'intégrale cherchée est un nombre entier. Or ce module est au plus égal à

aX

a y^ ((t'p -4- wci)X