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quantité qui sera <^ i , si l'on suppose

lï p 4- ( /i 4- I ) S

INTÉGRALES COMPLEXES. 3o5

Si nous supposons que |m|, l^l? ••• tendent simultanément vers zéro, on pourra faire décroître en même temps la quantité e jusqu'à zéro. Les n racines Z\, . .., ^/2 de module < ps, dont nous venons d'établir l'existence, tendront donc vers zéro; les autres racines au contraire, ayant leur module > pX, resteront finies.

La première partie du théorème est donc démontrée.

289. Pour établir la seconde, nous remarquerons que la somme Sk des puissances /:»«"*«« des racines infiniment petites sera représentée (283) par l'intégrale

C'est une fonction de w, p, . . . qui a une valeur unique et finie tant que les modules de ces variables ne surpasseront pas pX""*"*. De plus, elle est synectique, car cette intégrale admet des dérivées partielles du premier et du second ordre, finies et déterminées, lesquelles peuvent s'obtenir sans difficulté par la dérivation sous le signe f.

Cela posé, les coefficients />« , * ,», pn de l'équation F = o, qui a pour racines Z| , . . ., z^^ s'expriment comme on sait par des polynômes entiers en 5|, ^a, . . , ^/i. Ce seront donc des fonctions de m, p, ..., synectiques dans le domaine considéré.