Considérons enfin l'intégrale

Vz=

Elle aura une valeur unique et déterminée, ainsi que ses dérivées partielles par rapport à u, c, . . ., et au nouveau paramètre z'j tant que | w |, | ç^ |, . . . ne surpasseront pas cÀ«+« et

J. — II. QO

3o6 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE V.

que I y| sera <;?î^' Ce sera donc une fonction sjnectiqueà l'intérieur de ce domaine.

Sa valeur sera d'ailleurs égale à la somme des résidus relatifs aux pôles z\ ;>i, ..., z,i de la fonction à intégrer. Si nous supposons |w|, jrj, ... au plus égaux à ps""^* etl^'l^ps, le pôle z' sera distinct des autres, et le résidu correspondant

sera égal à la valeur de ^ vj pour

D'autre part, a/ désignant Tordre de multiplicité du pôle Zi,

le résidu correspondant sera ■- — '—^* On aura donc

et, en changeant z' en z et désignant par I ce que devient 1 par ce changement,

i î?? 1 ^ — î S ôz F dz ""

Intégrant cette équation, par rapport à ^, il viendra

G désignant comme I une fonction de 2, c/, (^, . . . syneclique aux environs de l'origine, et qui d'ailleurs ne s'annule pas en ce point.

Nous avons supposé, dans la démonstration précédente, que la quantité z' (actuellement remplacée par z) a son module < pX, mais >" os; or e est arbitraire et peut être choisi aussi petit qu'on veut. L'égalité