III. -- Théorèmes généraux sur les fonctions

monodromes.

291. On est convenu de dire qu'une fonction analytique f{z) a pour ^ = 00 un point ordinaire, un pôle, un point singulier essentiel, etc., suivant que le point 5 =: o est un point

ordinaire, un pôle, etc., pour la fonction / ( - ) •

D'après cette définition, une fonction entière a généralement, pour ^ := 00, un point singulier essentiel; ce sera un pôle si la fonction se réduit à un polynôme entier: un point ordinaire, si elle se réduit à une constante.

292. Théorème. — Une fonction f{z) uniforme sans points singuliers essentiels, même à V infini, est une fonction rationnelle.

En effet, elle ne peut avoir une infinité de pôles; car, ces points étant isolés, il ne peut en exister qu'un nombre borné dans un cercle de rayon donné décrit autour de l'origine. Elle admettrait donc des pôles dont le module surpasserait

toute quantité donnée^ /( - ) admettrait donc des pôles plus

voisins de l'origine que toute quantité donnée; le point ;;=:o serait donc un point singulier essentiel, et >5 = oo serait un point singulier essentiel pour/(5).

Soient donc a, 6, ... les pôles àe f{z) en nombre borné. On aura un développement de la forme

f\ {z) admettant les mêmes points critiques que f{z), sauf a, qui est devenu un point ordinaire. On pourra poser de même

3o8 SBCONDE PARTIE. — CHAPITRE V.

et ainsi de suite. On aura finalement

s désignant une somme de fractions simples et ^(z) une fonction entière.

D'ailleurs oo est, par hypothèse, un pôle pour /{z). Or c'est évidemment un point ordinaire pour chacun des termes de S; c'est donc un pôle pour <p (5), qui devra, par suite, se réduire à un polynôme.

293. Théorème. — Une fonction entière /{z)j dont le module reste constamment inférieur à un nombre fixeM^ est nécessairement une constante.

En effet, f{z) admet un développement par la série de Maclaurin

convergent dans tout le plan. Soit d'ailleurs C un cercle de rayon R décrit de l'origine comme centre; on aura (t. 1, n^ 205)