i pour toute valeur de n; et, par suite
/( 3 ) =/(o) = const,
294. On peut déduire, de la proposition précédente, une propriété importante des points critiques essentiels.
Théorème. — Soit a un point critique essentiel de f{^))
INTÉGRALES COMPLEXES. SoQ
isolé des autres points essentiels que peut posséder cette fonction, et soit A un nombre quelconque. Il existera aux environs du point a une infinité de valeurs de z pour lesquelles on aura
quelque petits que soient tetr^.
Traçons, en effet, autour de a un cercle C d'un rayon p assez petit pour qu'il ne renferme aucun autre point critique essentiel et considérons la fonction
Ses points critiques dans le cercle seront les suivants :
I" Le point critique essentiel a;
a® Des pôles, aux points o\xf{z) = A.
Si ces pôles sont en nombre infini, ils convergeront vers le point limite a, et l'on aura, pour une infinité de valeurs de Zy
Le théorème sera donc démontré.
Si ces pôles sont un nombre Gni, on pourra réduire p suffisamment pour que C n'en contienne plus aucun, et cp (5), n ayant plus qu'un seul point critique a dans ce cercle, pourra être développée, d'après la formule de Laurent, en une double série
La première série sera convergente dans le cercle G, et si \z — a I < p', p' étant une quantité moindre que p, son module ne pourra surpasser la constante fixe
K^^lA^lp"».
3lO SECONDE PARTIS. — CHAPITRE V.
La seconde est une fonction entière de > car elle con-
verge dans tout l'intérieur de C (sauf au point a pour lequel
est infini) et a fortiori en dehors de C, où
est moindre qu'à Tintérieur. On pourra donc, d'après le théorème précédent, assigner à la variable une valeur telle que son module surpasse un nombre quelconque M.
La valeur correspondante de \z — a\ sera < p', si M est assez grand, car, lorsque \z — ^|>p'»I?(^)| ne peut surpasser la constante fixe
On aura donc à la fois
et
d'où
et, par suite, en prenant p' assez petit et M assez grand,
l--«l<e, l/(-)-A|<Ti.
Ayant trouvé un premier point z qui satisfasse à ces conditions, on pourra trouver de même un second point -i satisfaisant aux conditions
et ainsi de suite.
M. Picard a démontré (*) qu'il existe au plus deux valeurs
(*) Mémoire sur les fonctions entières {Annales de r École xXormaU: 1880).
INTÉGRALES COMPLEXES. Si I
(finies ou infinies) de A pour lesquelles les relations
n'aient pas une infinité de solutions. Nous nous bornerons à énoncer ce rusultat.
La propositiiyi que nous venons d^établir s'appliquerait évidemment s^Mit point critique essentiel qui serait la limite d'une suite dv'^points critiques essentiels de l'espèce que nous avons coisidérée.
295. Une fonction entière peut ne s'annuler pour aucune valeur de la variable, ou admettre au contraire des zéros simples ou multiples, en nombre fini ou infini. Mais, dans tous les cas, ces zéros forment un système de points isolés (t. I, n<>339).
Réciproquement, nous allons établir la proposition suivante :
Théorème de M. Weierstrass. — Etant donné un système quelconque de points isolés a^, a^ . . . , a,,, . . . , on pourra construire une fonction entière dont ces points soient les zéros.
Nous supposerons provisoirement que l'origine 5 =: o ne fait pas partie de la série des zéros donnés «o, a^^ .... Si le nombre de ceux-ci est fini, le produit
V aj\ aj
satisfera à la question. Si ce nombre est infini, le produit ci-dessus, contenant une infinité de facteurs, pourra devenir divergent, ce qui rendrait la solution illusoire. Mais on peut la modifier ainsi qu'il suit :
Remarquons tout d'abord que les points a^^ ^4, ... étant isolés, il n'en existe qu'un nombre limité dans une portion finie quelconque du plan, et notamment dans un cercle de rajon donné décrit autour de l'origine. On pourra donc
3l2 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE V.
ordonner les quantités «o, a^^ ... suivant l'ordre de grandeur de leur module. Si plusieurs de ces quantités ont même module ou même sont égales (ce qui arrivera si Ton veut donner des zéros multiples à la fonction), on pourra les disposer dans Tordre qu'on voudra. En tout cas, on aura évidemment
lira I a„ I = 00.
Cela ppsé, considérons le produit inGni
où Mo, M|, . . . , M;,, . . . désignent des polynômes en z.
Nous allons montrer que ces polynômes peuvent toujours être déterminés de telle sorte que le produit ci-dessus soit convergent et représente une fonction entière, satisfaisant aux conditions requises.
On a
an)
la ligne L d'intégration entre o et z pouvant être choisie arbitrairement. Mais on a
/ = / h -j 4- ... H — -h ~ir, :
z^ y 5^ r^ z'^dz
Si donc nous posons
dz
a,, nf/,\
r^ z"dz
nous aurons
INTÉGRALES COMPLEXES. 3l3
Les polynômes Mn étant ainsi déterminés, nous aurons satisfait à la question. Considérons en effet Tensemble des Taleurs de z dont le module ne surpasse pas un nombre donné p, et soit | ajx | le dernier terme de la suite | Aq |, | tii |, ... qui ne surpasse pas p. On aura
Or, dans le domaine considéré, on a |'5|<p? et pour les valeurs de n plus grandes que [x on a, d'autre part,
\ctn\>\ «a+1 I > P
et, par suite,
JS'» I p'*
«;:k--) r I «ix+i i«()«ti^^i I - p)
Le terme général de la série \ ^j^), a donc son module
moindre que le terme général d'une progression géométrique convergente et indépendante de ^; la série sera donc uniformément convergente dans le domaine considéré. La série
y ^n sera convergente dans ce même domaine, car on a
fVndz
klX+ll'*(|<^lX-Hl| — P)
/ désignant la longueur de la ligne d'intégration. Or le second membre est encore le terme général d'une progression géométrique convergente.
La série \ an sera donc, dans le domaine considéré, une fonction synectique, ayant pour dérivée ^ ^^ ; il en sera de
3l4 SECONDS FARTIB. — GHAPITRK V.
même de Texponentielle
qui d'ailleurs ne s'annulera pas dans ce domaine.
Mais, d'autre part, l'autre facteur de P(5) est une fonction entière, qui ne s'annule qu'aux points ^o, •••, ci^' Donc P(5) est synec tique dans ce domaine et admet les zéros cidessus à l'exclusion de tout autre.
Comme on peut faire croître indéfiniment le nombre p, on voit que P(5) est bien une fonction entière, dont les zéros sont les points ^q, • . . , a^, ....
296. Nous avons supposé que le point « = o ne faisait pas partie de la série des zéros donnés. Si l'on voulait obtenir une fonction pour laquelle ce point fût un zéro d'ordre m, il suffirait de construire par la méthode précédente une fonction admettant les autres zéros de la suite et de la multiplier par z^,
297. Ayant ainsi construit une fonction entière /(>3) ayant les zéros demandés, proposons-nous de trouver l'expression générale des fonctions entières qui jouissent de cette propriété.
Soit/, (5) =r Q/(3) l'une d'elles. Le quotient Q n'aura évidemment ni zéros ni points critiques à distance finie. Son logarithme n'aura donc pas de points critiques à distance finie, et sera une fonction entière. En la désignant par U, on aura
Réciproquement, il est clair que toute fonction de la forme ci-dessus jouira de la propriété demandée, le facteur ê^ ne pouvant devenir ni nul ni infini.
298. On donne le nom de fonctions méromorphes aux fonctions dont tous les points critiques situés à distance finie sont des pôles.
IXTfiGRALBS COMPLEXES. 3l5
Soient F(z)une semblable fonction; Uoy a^^ . • • ses pôles; p-oy [^« 9 ... leurs degrés de multiplicité. On peut construire une fonction entière f{z) ayant ces points pour zéros, avec les mêmes degrés de multiplicité. La fonction F(z)/(2)=cp(s), n'ayant plus de point critique à distance finie, sera une fonction entière. La fonction
sera donc le quotient de deux fonctions entières.
299. Les fonctions entières et les fonctions méromorphes rentrent comme cas particulier dans la catégorie des fonctions monodromes, dont tous les points critiques, situés à distance finie, sont isolés. Proposons-nous de déterminer l'expression générale de ces dernières fonctions.
Soient /(5) une semblable fonction; a l'un de ses points critiques. On aura, comme nous avons vu (266), aux environs de ce point,
— oo
Sk^i^z — a)'«-4-\ A;„(5 — a)
Chacune des deux séries partielles <p(5) et ^(z) peut contenir un nombre de termes limité ou illimité; mais', dans ce dernier cas, elle sera convergente aux environs du point a,
La série ^{z) sera même convergente dans tout le plan (le point a excepté).
D'autre part, il est clair que a n'est plus un point critique pour la fonction ^(z), La nature de la singularité que présente la fonction /(z) en ce point est donc caractérisée par la seconde fonction partielle 'i(5).
3l6 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE V.
300. Théorème de M. Mittac.-Leffler. — Etant donnée une suite quelconque de points isolés a©, a^. ..., a„, . - et une série de fonctions correspondantes à^j '}i , . . . , ^/i, . - de la forme
on pourra toujours construire une fonction monodrome f{z) ayant pour points critiques a^^ «i, ..., a/,, ... et telle que l'on ait
(fnétant une fonction pour laquelle an ne soit plus un point critique.
On satisfera évidemment à la question en posant
/l ^OD
si P(,, . .., P,|, . .. désignent des polynômes en z, choisis de telle sorte que la série f{z) et la série dérivée
soient uniformément convergentes dans toute région finie du plan qui ne contient aucun des points critiques ao, ...,a,7,
Cherchons à déterminer les polynômes P, de manière à satisfaire à cette condition.
Soient ^ le maximum du module de z dans la région considérée; ao, ..., oL/if ••• les modules des quantités a©, .... a„, ... ; nous les supposerons rangés par ordre de grandeur croissante, de telle sorte qu^on ait
lima„ = oo pour n=:oo.
Traçons autour de chaque point critique a/t, et dans ses environs, un cercle c„j dont le rayon R,j ne surpasse pas d'ailleurs une quantité constante, que nous désignerons par p.
INTÉGRALES COMPLEXES. ZlJ
On pourra assigner à n une valeur finie /:, à partir de laquelle on ait constamment a„ — p — Ç >> i . Il résulte de cette inégalité que le cercle de rayon ^y décrit de Porigine comme centre, ne coupe pas le cercle de rayon p décrit de On comme centre. Mais le premier de ces cercles contient le point z, le second contient le cercle Cn ; donc z sp'^a en dehors du cercle Cn (si n^k).
Cela posé, on aura évidemment
La première somme ne contient qu'un nombre limité de termes, dont chacun est uniformément convergent dans toute région qui ne contient aucun des points eiQ, ai, ... (car la série ^n procédant suivant les puissances entières et
positives de la variable > sa convergence est uniforme) ;
donc elle est uniformément convergente, ainsi que sa dérivée, de quelque façon qu'on choisisse les polynômes P.
Passons à l'examen de la seconde somme.
La fonction ^n étant convergente dans la couronne comprise entre le cercle Cn et un second cercle G de rayon infini, et le point z étant d'ailleurs dans cette couronne, on aura, conune dans la démonstration du théorème de Laurent,
^^ 2TZlJ^ U — Z 2lt£7 il — z
La fonction '^«(w) et, par suite, la fonction --^ ten-
dant évidemment vers zéro pour a = 00, la première intégrale sera nulle (256), et Pon aura simplement
1 r [i s z\^-^ zv- 1
= : / 'V/i(w)^-^« - 4- -I -4-...H j]-4- -rr? ^ >
3l8 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE T.
|x étant lin entier que noas nous réservons de déterminer en fonction de n.
Les premiers termes de cette intégrale donnent un poijnôme en z de degré [x — i . En le prenant pour P/i, il viendra
Le module de u sur le cercle c« est évidemment >«« — ?• Soient M/i le maximum du module de ^n{u) sur ce même cercle; \n un entier positif satisfaisant à l'inégalité
(/l-4-2X«)M„p<(a„ — p)V On rendra les séries
convergentes en posant
On a, en effet,
Vil p i = VJ! Ct"M;,.2itp
K/, désignant le facteur
et
Siti-niîS^d^-'i.
K',, désignant le facteur
INTÉGRALES COMPLEXES. Sig
Les deux séries ci-dessus sont convergentes ; car, si n tend
r vers 00, K^, R' tendent vers zéro. La racine /i**™*^ du
terme général tend donc vers zéro.
L'uniformité de la convergence résulte d'ailleurs de ce fait que ces dernières séries ont leurs termes indépendants de 5.
301. Ayant ainsi construit une fonction f{z) satisfaisant aux conditions demandées, on obtiendra évidemment la fonction la plus générale qui satisfasse à ces mêmes conditions en lui ajoutant une fonction entière quelconque.
302. Théorème. — Toute fonction u qui a n valeurs pour chaque valeur de z et qui n^ offre à distance finie que des points critiques algébriques est racine d^une équation algébrique de degré /i, dont les coefficients sont des fonctions méromorphes de z.
Ces coefficients se réduiront à des fonctions rationnelles, si la fonction n^a que des points critiques algébriques, même en tenant compte du point z = oo.
Soient, en effet, //q, W|, ..., u,i i les n branches de la fonction. Un point quelconque a deviendra un point ordinaire ou un pôle pour l'une quelconque d'entre elles, telle que Uq^ si l'on prend pour variable indépendante une puis-
sance fractionnaire de z — a, telle que (z — a)'^ = Z. On pourra donc, aux environs de ce point, développer u^ en série convergente, suivant les puissances entières de Z. Le développement pourra d'ailleurs commencer par des puissances négatives, si le point considéré est un pôle pour Uq,
Soit donc
Wo = AZa-f-BZP
Si z tourne i, 2, . . . , ? — ^ f^^s autour du point a, Z se reproduira, multiplié parles diverses racines ^'*»"" de l'unité.
En les désignant par 6, 6-, • . . , 0^~* , nous obtiendrons y— i autres branches de la fonction, représentées par les séries
u, ziiAe«Z« H-B6PZP H-...,
Élevons ces égalités à la puissance A, k étant un entier quelconque, et ajoutons les résultats. Il viendra
wj-l-a*-|-.. .-4- Mj j = e)l.Z^-|-'ill>ZK--4-
D'ailleurs le premier membre ne change pas, si Ton y change Z en QZ. Donc il en sera de même du second; donc les exposants X, [JL, . . . seront tous des multiples de q; donc,enriDf la somme mJ -h . . . + a*, sera développable en série convergente^ suivant les puissances croissantes de la quantité
Tout autre cycle de branches associées Uç, w^+i, • . . donnerait évidemment un résultat analogue. Donc la somme Sa des puissances A*'*"®' des diverses branches de la fonclion u est une fonction monodrome de z, pour laquelle le point a est un point ordinaire ou un pôle. Ce pointa étant d'ailleurs quelconque, S^t sera une fonction méromorphe.
Supposons enfin que 5 = oo soit un point ordinaire ou, plus généralement, un point critique algébrique pour la fonction u. Chacune des branches Wq, ..., W//i sera développable aux environs de ce point, suivant les puissances entières et
croissantes d'une puissance fractionnaire de -> telle que
( - j = Z; et un raisonnement identique au précédent montre
que 00 est un point ordinaire ou un pôle de Sa- Donc Sa, n'ayant pour points critiques que des pôles, sera rationnel en z.
Cela posé, les quantités Wqî •••> "/i-< sont les racines de l'équation
(m — Mo). . .(a— W/t-i) = 0,
INTÉGRALES GOKPLEXES. 321
dont les coefficients, s'exprimant en fonclion rationnelle et entière des sommes Si, ..., S^j ..., seront des fonctions méromorphes (ou des fractions rationnelles) de z en même temps que ces dernières.
303. Théokème. — Si Vêquation en u est irréductible, on pourra, en faisant décrire à la variable z un contour fermé convenable, passer de la branche Uo à l'une quelconque des autres branches W|, . . . , «/««.
Supposons, en elTet, qu^on ne pût passer de la branche Uq qu'aux branches ^i, ..., Umj mais non aux branches suivantes Wot+i> •••; les branches Wq, w^, ..., Um seraient évidemment permutées exclusivement entre elles, quel que fût le chemin suivi par la variable z. Et Ton verrait, comme tout à l'heure, que les coefficients de Téquation
{u— Uq). ..(m — Um) — o
seraient des fonctions méromorphes (ou des fractions rationnelles) de z. L^équation en u admettrait donc un facteur de même forme et de degré moindre.
322 6BC0NDE PARTIR. — CHAPITRE YI.
