I. — Des périodes
304. On dit qu'une fonction /(//) est périodique cl arlmet la période 20), si elle satisfait à la relation
Si/(u) admet plusieurs périodes, 2(o, aco', ..., 2(o", elle admettra évidemment pour période toute quantité de la fornu
2 moi -h 2m'o)' -h. . .,
nij m', ... étant des entiers quelconques, positifs ou négatifs.
Si toutes ces quantités sont différentes, on dira que les n -h 1 périodes 20), 2co', ... sont distinctes. Dans le cas contraire, ce seront des fonctions linéaires, à coefficients entiei*s de n nouvelles périodes 2Û, 2Qf, ..., 2^""*.
En ellct, il existe entre elles, par hypothèse, une équation linéaire à coefficients entiers
(1) 2(7 w -}- 2 a'oj' -}-... = o.
Soit a le plus petit (en valeur absolue) de ceux des coefficients 6r, a'j ... qui ne sont pas nuls. On aura
a -zzaq'-h r' , a"ziiaq"-\' r\
q\ q^\ . . . étant des entiers, et /-', /*" des restes inférieurs à rt en valeur absolue.
FOiNCriOKS BLLIPTIQLBS. 323
Posons
Il est clair : i^'que 2a)| est une période; 2"^ que 2(o, 2(o', ...
s'expriment par des Ibnctions linéaires, à coefficients entiers
de 2to,, 2w', .... Ces nouvelles périodes sont liées par la
relation
2aa>, -f- 2/''io'-t- . . . — o,
où les coefficients, sauf le premier, sont moindres en valeur absolue que dans l'équation (1). Par une suite d'opérations analogues, on arrivera finalement à un système de périodes 2Û, 2Û', ... liées par une équation où tous les coefficients soient nuls, sauf le premier. Celle des nouvelles périodes, 2Û" par exemple, qui figure seule dans l'équation, sera donc nulle, et disparaîtra des formules, qui donneront 2(0, 2(0', ..., 2(0" en fonction de 2Û, 2Û', ..., 2U"~*.
305. Théorème. — Toute fonction admettant plus de deux périodes distinctes, ou deux périodes distinctes dont le rapport soit réel, admet une période de module moindre que toute quantité donnée.
Supposons d'abord que nous ayons trois périodes distinctes
20)— a H- Pi, 2(«':-^a'-f-?'l, lUi" z:=. %" -^ ^" L
Nous aurons, quels que soient les entiers /n, m', m", la |)ériode
2/w(x) -f- 2/n'to'H- 2//i''w"z- ma -\- m' otJ -v- m^a"
Soient M une limite supérieure des modules des quantités a, a', a", p, P', ^" , e\ k un entier arbitraire. Donnons à chacun des entiers m, m', m" la suite des valeurs o, 1, . . . , A\ Pour chacun de ces systèmes de valeurs, en nombre (^-l-i)',
on aura
\m% + m'7,'-^m''7."\ :3MX',
|mfi-i-m'p'-+-m"^"J :3M/.
3a4 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE YI.
Soit n le plus grand entier moindre que (A:-f- 1)^. Partageons rintervalle de — 3MÂr à 3MÂr en n intervalles égaux,
d^amplitude ; chacune des deux quantités
tombera dans l'un ou Tautre de ces intervalles, et le nombre des hypothèses distinctes qu'on pourra faire à ce sujet sera /i^. Ce nombre étant moindre que {k -f- i)', il existera nécessairement deux systèmes différents m^ , m\ , m\ et m2, m'^, m\, tels que mi a + m\ a' -f- m\ a" et mj ^ 4- ni\ ^' -h m\ ^^ tombent respectivement dans les mêmes intervalles que //la a + /n!^a'-f- /n*a" et m^^ -^ m\^ ^'-h m\ P". On aura, par suite,
I (/Ws— m,) a -h (/n'j — m'J a'-i- {m\ — w*) a''| ^ ,
mm
y* Vf />
I (//ij- //11) ? 4- (m; - m;) .3'-+- ( m\ - m\) ?" | = ,
d'où l'on conclut l'existence d'une période
2û = (mj — /ni) 2w 4- (/?ij — m',) 2w'-h (/wj — mj) aw*, de module moindre que
expression qu'on peut rendre plus petite que toute quantité donnée en prenant k assez grand, car n est d'ordre | par rapport à k,
306. Admettons en second lieu qu'on ait deux périodes distinctes 2 0), ao)', dont le rapport r soit réel. Il sera incommensurable, puisque les périodes sont distinctes. Posons
/jr, <jr,, . .. étant des entiers, et /'«, /'a, . • . une suite illimitée de restes dont chacun soit au plus égal en valeur absolue à
FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3'i5
la moitié du prëcédenl. Multipliant ces égalités par 20^, il viendra
Nous obtiendrons donc une suite de périodes a/'iO), 2r2(i), ... dont les modules décroissent indéfiniment.
307. Corollaire. — Une fonction analytique uniforme ne peut avoir plus de deux périodes distinctes, ni deux périodes distinctes dont le rapport soit réel, à moins de se réduire à une constante.
Car les points pour lesquels la fonction reprend la même valeur étant isolés (t. I, n° 339), il ne peut y avoir de période infiniment petite.
Dans Tétude que nous allons faire des fonctions à plusieurs périodes, nous supposerons toujours qu'il s'agisse de fonctions analytiques uniformes, et même méromorphes. Elles auront donc deux périodes
2 tOi = a, -f- P, /, 2 Wj -- «î H- P2 /,
dont le rapport
sera un nombre complexe. Sa partie imaginaire aura le signe du déterminant ai Pa — «2 pi •
308. Avant de procéder à cette étude, il nous faut établir quelques propositions relatives aux substitutions linéaires. On donne ce nom à l'opération qui consiste à remplacer 2 cOf , '^i02 par de nouvelles quantités
2(U| = 2ûr(0i 4- 260)2, 2C0j =z 2C(i)i H- 2fi?(Dj.
Cette opération S se représente par la notation
Le déterminant ad — 6c = D se nomme le déterminant de la substitution. On doit le supposer différent de zéro.
Le rapport t' des nouvelles périodes aw',, aw^ sera donné par la rorinule
"" ( aa, -h '6aj)« M-"(a'pi -h ô ?î)'
Sa partie imaginaire a le même signe que dans t, ou le signe contraire, suivant que D est positif ou négatif.
On peut passer réciproquement de 2 0)', , aco^ à 2W|, 2 par la substitution inverse
2fl?a)', — 2610J — 2Ca)', -H 2<7û)'^
de déterminant ^•
Si «, 6, c, rf sont entiers et D --- zh 1, la substitution inverse aura aussi ses coefficients entiers, et les deux formules
2Wia)i-}- 2/W2(i>2, 2/nj(i)j -h 2m',io',
(//ii, m2, ni\^ ni\ entiers) représenteront la même suile de quantités. On dira dans ce cas que les deux systèmes de périodes (2(0|, awo) et (2w', , atOj) sont équwalenis. L'équivalence sera propre ou impropre, suivant que D sera égal à -h 1 ou à — I .
Soient 2 0>'J, 210^ un troisième système de périodes liée> à 2 0),, 20)2 par les relations
2(Uj ■z.L la' iii\ -\- 26'Wj, 2(0* - 2c'a)j -t- 2d'oiy
On aura évidemment
2oj'J - 2 (aa'H- c^') w, H- 2 {ba'-hdb')tûii 2 oj j — 2 ( flc' -h cû?' ) o)i H- 2 ( bc' -4- <i^' ) 0),.
Les deux substitutions
c dr \c' d'
auront donc pour résultante la substitution
aa'-\~cb\ ba'-k-db' ac' 4- cd'y bc' H- dd' ) '
que nous représenterons par SS'.
En général, SS' et S' S représenteront d'après cela des substitutions différentes ; mais on aura
SS'S''z=S(S'S").
Nous désignerons naturellement parS^, S', ... les substitutions SS, SSS, . . .; par S~* la substitution inverse de S;
enfin par i la substitution ( ) qui laisse les périodes inaltérées.
Dorénavant, nous ne considérerons plus que des substitutions à coefficients entiers.
309. Nous donnerons le nom de substitutions élémentaires aux suivantes :
Vo — I / \o m \o I
/w, n étant entiers et positifs.
On joint souvent à cette liste la substitution
oA
Celle-ci s'exprime au moyen des précédentes par la formule
On a réciproquement
At=:BA;»B-».
Théorème. — Toute substitution S à coefficients entiers est un produit de substitutions élémentaires.
Il suffit d'établir ce ihéorème pour les substitutions
-\cd)
dont le détermioant D est positif. Car sî D était négatif, on aurait immédiatement
S' ayant pour déterminant — D, qui sera positif.
On peut supposer en outre que a, i, c, d aient pour plus grand commun diviseur l'unité. Car, si m est leur plus grand commun diviseur, soit
a~:ma'y b^izmb', cz=zmc', d^=^ md\ on aura
S' étant une substitution de déterminant — =» dont les coef-
ficients n'ont plus de diviseur commun.
Supposons donc D >- o, et a, 6, c, d sans diviseur com mun ; on aura
\o îj \C d— CA
et, d'autre part,
c — aX d
Si, Sa, S3, S4 étant des substitutions de même détermioant que S et dont les coefficients n'ont pas de diviseur commun.
PONCTIONS ELLIPTIQUES. SSQ
Posons, d'après cela (si c n'est pas nul),
c =rfili.,-hC,, o = Ci<rfn
On aura finalement
dk—-d'y Ca— o,
rf' désignant le plus grand commun diviseur de c, rf; et, d'après les formules (2),
S r-t TS',
T = A^'ÂJ». . .A^^AJ' étant un produit de substitutions élémentaires, et S' une substitution de même déterminant que S, dont les coefficients n'ont pas de diviseur commun, mais de la forme plus simple
Si 6' n'est pas divisible par rf', posons de même
d'=b'\\ -4-t/;, o<d\Z\b'\, y — d\ ji', -\-b\, o i b\ < d\ ,
On aura, d'après les formules (3),
P=...A5^«Ay» étant un produit de substitutions élémentaires, et S'' une substitution de la forme
fa' o \ \c' d")
où d^\ étant égal au plus grand commun diviseur de b' y d' ^ sera < rf'.
Si c" n'est pas divisible par d"^ on aura de même
33o SECONDS PARTIE. — CHAPITaS VI.
T'^ étant un produit de puissances de A|, Aj, et S'" une substitution de la forme
oi\ct"<c['.
En continuant ces opérations, on arrivera nécessairement à une substitution réduite
où l'un des coefficients p, y, par exemple y» sera nul, l'autre étant divisible par 5. Les coefficients n'ayant pas de diviseur commun, a sera premier à o.
Cela posé, on aura
et comme j3 — a et o ont pour plus grand commun diviseur
l'unité
H étant un produit de puissances de A|, A2 et 2 une substitution de la forme
D'ailleurs la substitution réduite ( ]> à laquelle nous ar-
rivons, doit avoir le déterminant D; donc a' = D.
Nous voyons donc que toute substitution S de déterminant D, et dont les coefficients n'ont pas de facteur commun, peut être mise sous la forme
T| et Ta étant des produits de puissances (positives ou négatives) des deux substitutions élémentaires A|, Aj.
