Soient
el coDsidërons deux systèmes de périodes, awi, 2t02 et aw', , awj, liées par les relations
(î) 2Ci)j zrr aaWj -f- 2 Ô(Dj, 3 0)', - t 2 CO), -f- 2^/(02.
Posons
2Û,=r 2aj(i), -f- 2 6jtU|, 2Ûjrrz 2Ci W| -4- 2(i](ia2y
2û'i=::2Dii,, 2û;--2ii,;
nous aurons
Les substitutions T|, T2 ayant l'unité pour déterminant, 'iQij 2Û2 seront proprement équivalentes à ao),, 20)2, et 2Qj, 2Û', le seront à 2Wj, ato^. Grâce à ce remplacement des périodes initiales par d'autres équivalentes, la relation (4) qui existait entre celles-ci a pris la forme plus simple
2Û', = 2DÛ,, 2û', -; 2Û,.
311. On obtiendrait une réduction analogue, quoique moins complète, en conservant les périodes 20)',, 2iù[^ et remplaçant seulement 20)4, 2(02 par d'autres périodes équivalentes. Nous avons vu, en effet, au début de la démonstration précédente, qu'on a
SzuTS',
S' étant de la forme
Si, au lieu d'appliquer l'algorithme du plus p*and diviseur aux coefficients rf, c, ainsi que nous l'avons fait, nous avions opéré sur a, 6, nous aurions pu faire disparaître le second coefficient au lieu du troisième et mettre S sous la forme TS', où
332 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Tl.
Cette substitution ayant le déterminant D^ nous aurons
ao = D.
En outre, a, p, v n'ont pas de facteur commun. Enfin, comme nous avons
et que le facteur A^ peut être fondu dans T, nous pouvons
disposer de X de manière à obtenir une substitution réduite
où Y soit l'un des nombres de la suite o, i , . . ., 8 — i (ou. si
on le préfère, un nombre choisi à volonté parmi ceux qui
lui sont congrus suivant le module S).
Soit encore ici
posons
La relation entre les périodes 2Ui, 2Û2 et 2 «',, 2 w, deviendra
2Wj — 2al2,, 2a>j = 2YÛ1-4- 28Û,, (ao — D),
ou
2D ili ^=:^ 2 ^Oi\ y 2DÛj=:: — 2yiJi\ -h 2 0Hù^.
312. Il importe de déterminer le nombre des systèmes de valeurs différents que peuvent prendre les nombres a, f'^ d'après les conditions ci-dessus :
a, Y< 8 sans facteur commun.
Pour cela, décomposons D en facteurs premiers. Soit D =p"p''^\ . . . On devra prendre pour 8 un diviseur deD, tel que p^^p''^' . . . , et pour a le facteur complémentaire
On sait que chaque nombre de la suite 0,1,.. . ,/>'^/?'"''.-.— ' est déterminé sans ambiguïté par les restes r, r', ..., qu'on
POIfCTIONS ELLIPTIQUES. 333
oblienl en le divisant par/>'", par jt?'"*', etc. Mais ce nombre
ne pourra être pris pour y que s'il n'a pas de facteur commun
avec 8 et a. Pour cela, il faut et il suffit :
I® Que p^^ />""■'", r ne soient pas tous divisibles par p\ 2** Que z?''"', />'"'■"'"', r' ne soient pas tous divisibles par
p\ etc.
Si donc nous désignons par cp (^«) le nombre de systèmes
de valeurs de m et de r, telles que l'on ait
o^m-riy o< '■</^
(/>'",/>""''*, r sans diviseur commun), le nombre N des solu lioQS cherchées sera
Or si m = /i, r pourra prendre toutes les valeurs de o à /?"—!, en nombre />". Si o <; m << /i, il ne pourra prendre que les/?'" — /?'""' valeurs moindres que/?"* et non divisibles par/?. Enfin, si /n = o, il ne peut prendre que la valeur o. Donc
et
