Les substitutions

(le déterminant i peuvent être réparties en six classes distinctes, suivant que leurs divers coefficients sont pairs ou impairs. Il résulte, en effet, de la condition ad — bc =ii : 1° que l'un au moins des coefficients est pair; 2° que deux coefficients situés sur la même ligne ou la même colonne ne peuvent être pairs à la fois. Les seules hypothèses admissibles

sont donc les suivantes :

l a^ d impairs; 6, c pairs;

Il a, c, d » b pair;

III a, b, c » d ))

IV a, by d n c «

V by Cy d » a ))

Yi by c n a, d pairs.

On a

el, suivanl que S apparlient à la classe I, II, III, IV, V ou VI, S| apparliendra à la classe IV, V, VI, I, II, III. On a de même

S T— ( , , ) A,r= SjAj,

\c — a d - -bj '

S2 appartenant à la classe II, I, IV, III, VI ou V.

On pourra donc, suivant la classe à laquelle appartient S, mettre cette substitution sous Tune des six formes

T, TAj, TAjA,, TA,, TAjAi, TA, A, A,,

T désignant une substitution de la première classe.

Cette substitution T résulte elle-même de la composilion des substitutions

AJ, \l et B»:=(~' ^^).

Soit, en effet,

^ /a b\ /a,^impairs\

~~\cd) \ 6, c pairs /

La relation ad — bc -— i montre qu'on a

adz~ I mod 4,

d'où

a^id^=: ±.1 mod 4-

Supposons d'abord aEz:imod4« On pourra déterminer

FONXTIONS ELLIPTIQUES. 335

sans ambiguïté une suite d'entiers pairs 2\ 2|Ji, ... parles relations

Posons de même

rf zrz 2 X c -\- di,

c in; 2|xr/, -;- r,,

Les entiers 6, 6| , . . . , c, Cf i . . . seront tous pairs, et les entiers «, «i , . . . , rf, t/| , ... congrus à i mod /\, Comme />, 6t, ... décroissent en valeur absolue, on aura finalement une quantité è^+i = <>; et l'on aura évidemment

D'ailleurs d'où

Enfin ca est un nombre pair; en le représentant par 2;jl>;, on aura

Si CT r.: — 1 mod 4, on aura

et la méthode ci-dessus permettra d'exprimer ï' par un produit de puissances de A*, et de A^.