Le réseau des périodes

336 SECOïfDB PARTIE. — CHAPITRE Yl.

dérivé des deux périodes fondamentales

peut se représenter géométriquement comme il suit :

A partir d*un point quelconque A, portons bout à bout deux droites représentant 2o>i et 2(1)2 en grandeur et en direction. Sur ces deux droites, construisons un parallélogramme, dit parallélof^ramme des périodes. Les diverse^ périodes seront représentées en grandeur et en direction par les distances du point A aux points

A -h 2 //Il 0), 4- 2 mj wj.

Ces points sont les sommets d'un réseau de parallélograuime? égaux.

Nous dirons que deux nombres a, a' sont équivalents >' la différence a' — a est une période; et nous représenterons cette relation par la notation suivante

analogue à celle usitée en Arithmétique

b' zii b itioàm,

pour exprimer que la différence de deux entiers 6', b est un multiple de m et qui s'énonce, comme on sait, en disant que b, b' sont congrus suivant le module m. L'aire du parallélogramme des périodes est

l«iPî"««PiI.

L'angle extérieur cp {Jig. 17) représente Fargument du rapport

S'il est <[ Tî? la partie imaginaire de t sera positive; sin^" elle sera négative. Dans le premier cas, si l'on fait le lourd" parallélogramme en s'éloignant du point A suivant la ligne 2 0)1, la rotation aura lieu dans le sens direct; dans le second cas, le sens sera rétrograde.

Les sommets du réseau resteront les mêmes, si Ton remplace 2(i)|, 2Ci>2 par un système de périodes équivalentes 2o>', , '^.co^. Il existe une infinité de semblables systèmes.

H 1 or I •»

Appelons, en efiet, période primitive toute période

2(i>j =: 2/nia)i-h 2/71sb)2,

où nit, m^ sont premiers entre eux. On pourra déterminer (d'une infinité de manières) deux nouveaux entiers /i|, n^ premiers entre eu\ et satisfaisant à la relation

/7Z| AZj — 771 j /l| =zr lil I .

On aura ainsi une seconde période primitive

2(i)j ^= 2«iU)i -h in^iù^y

et le couple 20)^, 2o)j sera équivalent au couple 2ci)|, 2(02. Le parallélogramme formé sur 20)'^, ^iù'^ a pour aire

il est donc équivalent au parallélogramme initial.

31o. Par une raison de symétrie, que la suite de cette élude mettra en évidence, il convient de considérer, conjointement avec 2 0)', , 2(0^, une troisième période primitive 2103, définie par la relation

2a>'| -f- 2toj -h 2W3 - o,

laquelle exprime que ces trois périodes, mises bout à bout, forment un triangle fermé.

Il existe donc une infinité de triangles de périodes primi-

tives. Ils jouent tous des rôles analogues dans la théorie. Jl en est un toutefois particulièrement intéressant; il peut s'ol^^ tenir comme il suit :

Prenons pour point de départ un triangle quelconque d'* périodes primitives, par exemple le triangle ABC fornir par les périodes

AB - 2 0),, BCr-^Wj, CA — 7 2tiJj.

Supposons qu'il ait un angle obtus, en B par exemple. Complétons le parallélogramme ABCD et menons sa diagonal'" BD; ABD sera un nouveau triangle de périodes primitives, de périmètre moindre que ABC.

Si ABD a un angle obtus, on en déduira un nouveau triangle de périmètre moindre, et ainsi de suite. Cette sérl* d'opérations ne peut se prolonger indéfiniment, car les sommets du reseau A-h am^ (O^ H- a/yiaw^ étant isolés, il n'en existe qu'un nombre borné dans un cercle de rayon donor décrit de A comme centre. 11 n'existe donc qu'un nombn^ borné do périodes de module moindre que le périmètre \Bi. et a fortiori un nombre limité de triangles de périmètre moindre que ABC.

On arrivera donc nécessairement à un triangle MNP sans angle obtus. Un semblable triangle se nomme trianfl'' principal; ses côtés

MNr^2i2,, NP-212,, PM — 212,

seront dits périodes principales.

Le triangle MiN'P', symétrique de MNP par rapport à l'un de ses sommets M, a pour côtés

- 2i2,, — 2iiî, — 2il3.

(i'est évidemment un second triangle principal.

316. Il n'en existe pas d'autre (si MNP n'est pas rectangle). Nous allons montrer, en effet, que les përiode^ riz •>.û|, ±: 2Û2, ir 2Û3 sont parmi les périodes primil'^^"' celles dont le module est minimum, ce qui les caractén?^

FONCTIONS ELLIPTIQUES. SSq

complètement; et MNP, MN'F sont les seuls triangles qu'on puisse construire avec ces six périodes.

En effet, supposons, pour fixer les idées, que |2Û, | soit au plus égal à | 2Q2 | et à | aûj |.

Les angles en M et en N étant aigus et au moins égaux à

Tangle en P, seront au moins égaux à y • La hauteur PH du

triangle, étant égale à

|2û, IsinN — l2ii, |sinM,

sera au moins égale à — ~ et à

Cela posé, construisons {Jig* 18) le réseau de paralléloj^ramnies quia pour sommets les pointsM-|-2miû|-f-2m2Û2-

Les modules des diverses périodes seront représentés par les distances de M aux sommets du réseau.

Or, parmi les sommets situés sur MN, deux seulement, M et N', correspondent à des périodes primitives, 2Û1 et — 2iî|. Quant aux sommets situés sur PQ, la perpendiculaire abaissée de M sur cette droite ayant son pied situé entre P et Q, ces deux points seront ceux qui donnent les périodes de module minimum

MP=: — 2û, et MQ = 2Û,.

F-ies sommets situés sur P'Q' donneront de nouvelles périodes, parmi lesquelles celles démodule minimum seront

MP'z=2û, et MQ'r--- 2ii,.

34o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VI.

Quant aux autres sommets du réseau, ils donneront des périodes dont le module est au moins égal à 2PH, quantité plus grande que | 2Û2 1 et | 2Ûs |, et a fortiori plus grande que I 2Û| |.

Notre proposition est donc établie.

11 nous reste à examiner le cas où le triangle. MNP serait rectangle, en N par exemple. Dans ce cas, MQ étant perpendiculaire à PQ, la période

MR:^2i2j— 2Û|

et son opposée MR' auraient le même module que MP, de sorte qu^on aurait deux nouveaux triangles principaux, MQR, MQ'R'.

317. On a souvent intérêt à choisir les périodes primitives 2a)|, 20)2, génératrices du réseau, de telle sorte que leur rapport t' ait le coefficient s de sa partie imaginaire positif, et le plus grand possible.

Soit

Ce coefficient est égal (307) à

s désignant Taire du parallélogramme (20)'^, 21O2). Cette aire étant indépendante du choix des périodes fondamentales (314), on voit qu'on devra prendre pour 2C0j la période de module minimum; nous avons vu le moyen de la déterminer, connaissant les périodes initiales 2(0f, 2(02.

Il existe une infinité de périodes qui, associées à 2(j>'|, forment un système équivalent à (20)4, 2(02); elles sont deux à deux égales et de signe contraire. On pourra prendre celle d'entre elles que Ton voudra pour 2o>2, en choisissant son signe de telle sorte que s soit positif.

Prenons, par exemple, pour 2W2. la seconde période NP

du triangle principal MNP (Jig. 19). L'aire de ce triangle est |S; d'ailleurs, MN étant son plus petit côté, P sera

son plus petit angle; l'un au moins des angles M, N, par

exemple N, sera au moins égal à ^> On çiura donc