II. — Théorèmes généraux sur les fonctions elliptiques

318. Nous appellerons, pour abréger, fonctions elliptiques, les fonctions méromorphes à deux périodes.

Théorème. — Une fonction elliptique entière se réduit nécessairement à une constante.

Car son module reste borné dans un parallélogramme des périodes, et, à cause de la périodicité, dans tout le plan.

Théorème. — La somme des résidus d' une fonction elliptique f{ju) par rapport aux pôles situés dans un parallélogramme des périodes est nulle.

Car cette somme est égale à l'intégrale — ; lf{u)du, prise

dans le sens direct autour du parallélogramme. Or celte intégrale est nulle, car deux éléments correspondants pris sur deux côtés opposés sont égaux et de signe contraire. On nomme ordre de la fonction/(M) le nombre des pôles

qu^elle possède dans le parallélogramme, comptés chacun avec son degré de multiplicité.

Cet ordre est au moins égala 2; car si Ton n'avait qu'un pôle simple, le résidu correspondant A étant différent de zéro, la somme des résidus ne serait pas nulle.

319. Théorème. — Si la fonction f{u) est d'ordre l : 1° V équation f {il) ^=-0 y oii c est une constante quelconque, admettra dans le parallélogramme l racines, égales ou inégales; 2" la somme de ces racines est équivalente à celle des pôles.

Soient, en effet, a,, ..., a/ les pôles de/(w); y^ ..., y^ les racines de/(u) — c = o dans le parallélogramme. 1" On aura

rinléofrale étant prise autour du naralléloorramme : or, -~7--

étant évidemment doublement périodique comme /(w), celle intégrale est nulle.

2° On a, d'autre part,

I r uf'{u) ,