az= : / --/-^ '- du

Deux, éléments correspondants de l'intégrale pris sur les

Fig. ao.

a'^toj.

lU

2<Uf

côtés opposés AB et CD {/ig^ 20) auront pour valeur respective

FONCTIONS KLUPTIQLES. 343

el

Leur somme sera

— 2 wj -. ;— du.

La somme des intégrales suivant les côtés AB et CD sera donc

Or/(u) — c reprend la même valeur aux deux limites. L'accroissement de son logarithme ne peut donc être qu'un multiple de aie/, tel que — im^T^i, La somme des deux intégrales sera donc 2/7130)2.

De même, la somme des intégrales suivant BC et DA sera de la forme 2mt(0|. On aura donc

2 Y — léOL—r. 2 771, W I -f- 2 771 j Wj .

320. Théorème. — 1** Si deux fonctions /(u)j(f{u) aux mêmes périodes ont les mêmes pôles dans te parallélogramme, et si la partie infinie de leur développement aux environs de chacun d'eux est la même, leur différence est une constante;

2" Si deux fonctions f{u), 'f («), aux mêmes périodes, ont tes mêmes zéros et les mêmes pôles dans le parallélogramme {avec ta même multiplicité), leur rapport est une constante,

Cqt f(u) — <p(«) dans le premier cas, ~ — -dans le second, sera une fonction elliptique entière. C'est donc une constante.

321. Théorème. — Pour que deux fonctions elliptiques f{u) et ^{u)^ admettant respectivement les périodes 20)1,

2iù2et 2 (ù\ ,2 0)^, soient liées par une équation algébrique, il /aut et il suffit que les quatre périodes 2(0|, awj, aco'^. 21O2 se réduisent à deux périodes distinctes.

Supposons, en eflfet, qu'on ait la relation algébrique

A, A|, ... étant des polynômes en ^ . Changeons dans cette identité u en u-h 2m\iù\^ m\ étant un entier. Ce changement n'altérant pas <p, il viendra

D^ailleurs, / ne change pas si Ton augmente u de 2mi (i)| + 2/n2C02. Posant donc

2 m j (u'j -h 2 //ij W| -f- 2 //ij (i>j := 8, nous aurons

o = A/>^(£/ -f- S) -f- A,/^-»(tt -4- 5) -h . . . = F[/(a -h 8), 9w I {?F / <^*F (^F\ 8«

Si les trois périodes 2(o'^, 2(0|, 2o>a étalent distinctes, on pourrait choisir les entiers mi, m2, /^î'i de telle sorte que 0 devint plus petit que toute quantité donnée. Les coefficients de chaque puissance de 0 seront donc nuls séparément; on en

déduit

d'où

Donc f (</), satisfaisant à des équations algébriques à coefficients constants, se réduirait à une constante.

On a donc nécessairement entre les périodes une relation de la forme

(i) 2mja)'j -h 2mi(D,-f- 2m,(i>jr= o.

On démontrera de même Texistence d'une autre relation

(2) 2«', (!>', -f- 2«i<D|-+- 2/ljO)jZ:z: o.

PONGTIOHS ELLIPTIQUES. . 345

Les quatre périodes données se réduiront donc à des fonctions linéaires de deux périodes distinctes.

322. Réciproquement, supposons Texistence de deux relations telles que (i) et (2); les deux fonctions /et f seront liées par une équation algébrique. En effet, elles admettent un couple de périodes communes

2Ûs HT — in\ <o', --- î/ij ci),-T- 2/1, 0),.

Sur ces deux périodes, formons un parallélogramme et soient respectivement [jl, v le nombre des pôles de f el de © qui s'y trouvent contenus. A chaque valeur particulière fo donnée à f correspondent jjl classes de valeurs de a, de la forme

1/1+ 2/niûi+ 2/n2i22, ..., M|i.-}- 2/n|û,-h 2m,S2,,

et à chacune de ces classes une seule valeur de ^ . Ainsi, à chaque valeur de /répondent jjl valeurs de cp, et de même, à chaque valeur de ç, v valeurs de /.

D'ailleurs, ç considéré comme fonction de / n'a que des points critiques algébriques. Soient, en efTet, /o, Wo, ?o trois valeurs correspondantes de/, a, cp. Aux environs de la valeur u = Uo, les fonctions méromorphes / et cp admettront des développements de la forme

/-/o= M(a - i/o)« -h M,( w - Wo)«-^» H-. . . ,

aet p étant des entiers positifs (si /q, (pç sont finis. Dans le cas contraire, on aurait des développements analogues pour

■7. ou - et la conséquence serait la même).

La première équation, résolue par rapport k u — Uq^ donnera son expression par une série de puissances fractionnaires de / — /q. En la substituant dans la seconde équation, on obtiendra une expression analogue pour ^ — ço*

Donc y el cp seront liées par une équation algébrique (302). Celle-ci sera en général de degré jx par rapport à ©, et de degré v par rapport à /. Ce degré peut toutefois s'abaisser dans certains cas particuliers. Supposons, par exemple, que / et çp soient des fonctions paires de w. Les diverses classes de valeurs de f qui correspondent à une même valeur de u se répartissent en couples, tels que le suivant

M, -f- 2m|i2i-+- 2m2Î2,; — «j-h a/niO| -i- smiQ).

Or, à toutes les valeurs d'un même couple correspond une valeur unique de y, de sorte que le degré de l'équation en ^ sera réduit de moitié. Il en est évidemment de même de son degré en y.

323. Corollaire — Toute fonction elliptique f{u) est liée à sa dérivée par une équation algébrique.

En effet, /'{u) admet évidemment les mêmes périodes que/(w).

Cherchons le degré de cette équation. Soient M|, ..., «, les pôles de/(w) dans un parallélogramme; ai, ..., a, leurs ordres de multiplicité. Aux environs de l'un d'eux, i/a, on aura un développement de la forme

/(u) --- \{u~' «A.)-«t -4- Ai(« — u ji.)-^k^^ -\~ . . ., d'où

Le nombre des classes de valeurs de u qui correspondent à une même valeur de/sera égal à S a>t, et le nombre de celles ' qui correspondent à une même valeur de y*' sera

S(ot^--f- l) ~-^ 2a;;. -f- i.

L'équation sera donc du degré Sa>t en/' et du degré Sa^t-f-/ en/.