Posons

U ^ \U — il' iV iV^

sommes et produit s^étendant à toutes les valeurs de (p qui sont de la forme 2mi (o^ •+- 2 ma 0)2 (le système nit = 7^2== o

excepté, ce que rappellera Taccent dont les symboles 1 I et \

ont été affectés).

Ces expressions sont absolument et uniformément convergentes dans tout domaine borné R qui ne contient aucun sommet du réseau des périodes. En effet, le terme général de pu^ par exemple, peut s'écrire

I I 2 Mil' — u^ A

(u — <v)* tr* sv-{u — {v)* iv*

A tendant pour (v -- oc vers la limite 2U, dont le module reste borné dans R. Or on a vu que la série > — est absolument convergente (t. I, n** 319).

La même démonstration s'applique aux séries ^u et logo*//.

On a évidemment

IOg3'M=: -- — tia,

du ^ tf 1/

(4) { K' u — —pu,

348 SECONDS PARTIE. — CHAPITRE fl.

Considérées comme fonctions des trois variables i/, 2Ct)«, 2 0)2, les fonctions ^, J^, p sont homogènes, de degré i, — i, — 2 respectivement.

Considérées comme fonctions de 2(i)|, 2o>2 sealemeat, elle> • restent invariables par toute transformation linéaire de déterminant ± I . Car ce changement n'altère pas le réseau des périodes w.

Considérées comme fonctions de u seul, pu est une fonction paire, ^u et <iu des fonctions impaires. Car les valeurs de w étant deux à deux égales et de signe contraire, on peut changer tv en — iv dans les sommations. Si l'on change simultanément u en — u, pu reprend sa forme primitive, tandi< que ^u et du changent de signe.

326. Les pôles de pe^sont les points *im\iù%-\- ini^tù^. Ils sont doubles. Aux environs de 2^ = o on a

F F iu 3 m* a m*

Faisons la sommation, remarquons que les puissances impaires de u doivent se détruire; enfin, posons, pour abréger,

nous obtiendrons le développement

(6) pw =z — -l-C, M'-h C,«*-i-

La fonction l^w a pour pôles les points 2mi a>i -f- 2/712CO2. Ces pôles sont simples et les résidus correspondants sont égaux à I .

Comme X^u a pour dérivée — pu et que Cm s'annule

pour u =: o, rintégration de l'équation (6) donnera

(7) Çmzzz - -C, y -C, y -....

lalégranl de nouveau et remarquant que, pour a = o, logerez — logu sWnuIe, il vient

cii y ^2, • . • étant des polynômes entiers en Ci, C2, ....

D'ailleurs, du est une fonction entière, dont les zéros sont les points 2 /W| coi -i- a m2 0)2. Ces zéros sont simples.