Soit

une période quelconque du réseau. Le changement de u en f/ H- aci> ne fait que permuter les uns dans les autres les lormes du développement

Étant absolument convergent, il restera inaltéré. Donc

Intégrons, il viendra

p{u -i-2iù)z=zpu-hC.

Four déterminer la constante, posons u = — co ; il viendra

po) 1= p(— w) H- C =: p(u)) -+- C.

Donc C est nul, et jdm sera doublement périodique, comme sa dérivée.

Comme on sait, en outre, qu'elle est paire, l'équation

pw — pwo admettra les racines

« zz: dz I/o -h période.

Mais elle n'en admettra pas d'autre, car pu, n'ayant qu'un

35o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VI.

pôle double dans chaque parallélogramme, ne pourra y avoir plus de deux zéros.

Intégrons l'équation

(9) p(tt-f-2to)r-j3i/,

nous trouverons

^{U -h 2U)) "Z Çm -h C.

Posons encore u =-. — w, il vient

Çw — ;(— o)) H- G =1 - ;a> -f- c,

G i 2 ÎU).

Posons

(10) T,,=zîto,, r<j~;to,.

Nous aurons, en particulier,

l{li-h 20>i)r-Çz/-H 27ii, Ç(W -i- 2(oj) 1^ Çw -h 2r,,,

et, plus généralement, en posant

2 W — - 2 jjLi (i>, -h 2 (Xj (jJj,

(il) î(M-h2w) =ÎM4-2T,.

328. Les quatre constantes coi, (1)2, t^i, 7)a sont liées par une relation importante. Pour l'obtenir, calculons l'intégrale

/ ^udu autour d'un parallélogramme de périodes ABCD {Jig' 21).

Fi g. ai.

(considérons deux éléments correspondants des deux inlé-

FONCTIO.NS KLLIPTIQUBS. 35 I

craies suivant AB et CD. Ils sont respectivement égaux à

Leur somme sera -^ iti^du. On aura donc pour la somme (les deux intégrales

— 27J, du ==: — 4''îl<^i* AB

Sur les côtés BG et DA, les éléments correspondants seront

X^udUy — ï(w — 2(0i) du := — (Çw — 2Yîi) <^W>

et la somme des deux intégrales sera 4^2'^i*

L'intégrale cherchée sera donc 4(w2'î^i — "fii^K )• Mais elle est égale au produit de 27c/ par la somme des résidus relatifs aux pôles contenus dans le parallélogramme, si Ton a

tourné dans le sens direct (c'est-à-dire si t = — ? a sa partie

réelle positive); au même produit changé de signe, dans le cas contraire. D'ailleurs X^u n'a dans le parallélogramme qu'un seul pôle, dont le résidu est i. Comparant les deux expressions obtenues, nous aurons

(12) WjTJi— W,T„ IZS — ,

i étant égal à + i ou à — 1, suivant que x a sa partie imaginaire positive ou négative.