Cherchons l'équation algébrique qui lie p' u à pu

A cet effet, formons un polynôme en pu et pu qui, dans un parallélogramme donné, n'admette plus de pôles. Ce sera une fonction elliptique entière et, par suite, une constante. Si, de plus, il s'annule pour une valeur de u^ il sera identiquement nul; ce sera donc le premier membre de l'équation cherchée.

Choisissons un parallélogramme qui contienne l'origine;

it et ji u y auront un pôle unique a = o, aux environs duuel on a

p'"=i-^ 9S';^vi+ '^S';^-^---'

Posant donc, pour abréger,

le polynôme ji^u — 4p'« + ^'aP" + 5^3, non seulement n^aura plus de pôle, mais s'annulera pour e/ = o. L'équation cherchée est donc

331. Dérivons cette équation et supprimons le facteur commun ap'. Il viendra

(i6) V'^^V'-XS.'

Substituons dans cette équation le développement

PM= —i 4-Cia'+C2M^H- . . . .

L'identification des termes en w^^-^ donnera d'où

Cette formule récurrente permet d'exprimer Cj, C4, ... par des polynômes entiers en C|, ^2* Mais

(,8) c. = 3^'jl = ^é', ^r=S^^, = ^ff^.

Tous les coefficients C|, Cj, C3, ... sont donc des polynômes entiers en g^f gz> De même pour les coefficients rf,, rfa, ... du développement (8) de <iu.

Les quantités ^2, ^3 sont, d'après leur définition, homogènes d'ordre — 4 et — 6 en Wi, (1)2. D'autre part, pa, du sont homogènes d'ordre — 2 et i en a, tOj, (02. D'après cela, le polynôme Cn ne devra contenir que des termes M^^^"»? o" les exposants satisfassent à la condition

— [\\ — 6jj.-i-a/i=z — 2.

On aura, par suite,

a, (3, y, 8, . . . étant numériques.

La même observation s'applique aux polynômes rf«.

332. Prenons les dérivées successives de l'équation (16), en remplaçant, à mesure qu'elles s'introduisent, les quantités p'^ et fl' par leurs valeurs enp; on trouvera

et, généralement,

P/i+i et Qrt étant des polynômes entiers en pw, dont le degré est marqué par leur indice, et dont les coefficients sont des polynômes en g^ et ^3, le premier étant purement numérique.

Soit

un de ces polynômes. Il doit être homogène de degré — *\m en II, (i>|, (i>2; ses coefQcients auront donc la forme

a, 6, . . ., y* étant numériques.

Les équations (19), (ao) résolues par rapport à p*, pj3', p', ... donneront réciproquement

^'=To[^^h^^^^^y

et, généralement,

où B, C sont des constantes, et B| , . . . , B„, Ci , . . . , C/i des polynômes en g^y g^y dont l'homogénéité permettra d'écrire de suite la partie littérale. On aura en particulier B| := o,