Posons

pw, = ^,, pa),=:ej, ptDa^^j.

Ces trois quantités sont distinctes, car ni les sommes, ni les différences des quantités coi, (o^, (03 ne sont des périodes.

Ce sont d'ailleurs les racines de l'équation du troisième degré

4p'— é'îP — ,^3=0.

En elTet, le premier membre de cette équation est égal à p'^u. Or p^u étant doublement périodique et impaire, on aura

P' w, = p' (tOi -- 2 O), ) = p' (— toj ) = — p' wi = o.

On voit de même que p'iù2 = o, p'wj = o.

L'équation sera donc satisfaite pour i/ = (i)|, co^, (03, d'où

Les quantités ^i, e2y c^ sont, d'après leur définition, homogènes de degré — 2 ; elles satisfont aux relations

^1 + ej-f-Cszzio,

e, c, -h e, Cj -h c, e, = — { gi,

Les constantes ^2, ^3 se nomment les invariants du réseau imx (Of + 2 m^ €1)2 ; elles ne dépendent pas, en effet, du choix des périodes fondamentales.

Nous aurons à considérer deux autres invariants :

1° Le discriminant

Il est d'ordre — 12 en (Of, (1)2. Nous avons vu qu'il est toujours différent de zéro.

2° U invariant absolu

Il est d'ordre zéro, et, par suite, ne dépend que du rapport T des périodes. Il reste invariable si l'on change t en

f?^J -i- m,T fondamentales.

- — ^— , ce qui revient à changer le système des périodes

334. Jusqu'à présent, prenant pour point de départ deux périodes 2(0|, 20)2, dont le rapport ne soit pas réel, nous avons défini p M, o^^, g^ et établi les relations

(cip\

\duj ^4p'-^-.P-^V

Suivons maintenant la marche inverse. Donnons-nous a priori deux constantes g^t gs satisfaisant à l'inégalité A^o.

Nous étudierons réquation différentielle

nous montrerons qu'elle admet comme solution une fonction JDM, dont nous déterminerons les périodes en fonction de

g^y gi

L'équation

a trois racines inégales e,, ^a» ^3- Pour fixer les idées, nous les supposerons numérotées dans l'ordre où on les rencontre en tournant dans le sens direct autour du triangle ^i^a^s*

Soit Zq un point quelconque différent de et, ^2, e^. Il conviendra, pour plus de symétrie, de le supposer situé à l'intérieur du triangle Ci e^e^» En ce point, le radical y/Z aura deux valeurs égales et opposées; nous désignerons par y/Zg l'une d'elles, choisie à volonté; l'autre sera — y'^^o-

Soit enfin Uq une constante choisie à volonté.

D'après une proposition fondamentale que nous établirons dans la théorie des équations différentielles, il existe une fonction analytique z de la variable ii qui satisfait à l'équation différentielle, et qui, pour la valeur initiale u = «q, se réduit à 2q, le radical y/Z prenant en même temps la détermination y/Zo. En suivant de proche en proche la variation de cette fonction, on ne pourra rencontrer de point critique que lorsqu'elle deviendra infinie ou prendra l'une des valeurs gj, ^a, ^3 qui sont critiques pour y/Z, considéré comme fonction de z,

33S. I** Supposons que, pour une certaine valeur de w, telle que z/|, z devienne égal à l'une des racines ^i, ^2, ^3, par exemple ke\. Le point u^ ne sera pas critique. Posons, en effet, :; = ei -h ^^ ; l'équation différentielle

sera transformée en

dt

1^ valeur ^ = o n'étant pas un point critique pour le nouveau radical, u=^ U\ sera un point ordinaire pour la fonction t et aussi pour z = e^ + t^,

2° Supposons maintenant que, pour 11 = Ut, z devienne

infini. Ce point sera un pôle. Posons, en effet, 5 = -j* L'équation différentielle deviendra

— "xdt I r? r ï

ou du

Intégrons à partir des valeurs initiales simultanées ^ = 0. w^ U\j il viendra

« — «, zz: rh / ( I -h ^ Z^ 4- . . . K

et, en résolvant par rapport à /,

La fonction z est donc méromorphe, et, aux environs de chacun de ses pôles, tel que U\^ la partie de son développement qui ne s'annule pas se réduit à •

336. Cherchons à déterminer les valeurs de u pour lesquelles z prend une valeur déterminée z'. L'équation différentielle peut s'écrire

aa = -— ,

FONCTIONS BLLIPTIQUB8. 359

et en intégrant de z^ à z^

Le sigpie de y/Z est d'ailleurs fixé par la condition que, pour la valeur initiale z = z^^ il se réduit à v/Zo«

Nous avons à chercher les diverses valeurs que peut prendre cette expression lorsqu'on fait varier la ligne d'intégration suivie de z^ à z\ A cet effet, menons une ligne déterminée L {Jig. 22) entre Zq et z'; joignons d'autre part z^ aux points ^1) ^29 ^9 pai' des lacets L^, L2, Ls respectivement formés par des lignes X|, \^^ X3 intérieures au triangle, et par des cercles infiniment petits ei, 63, e^.

Fig. aa.

xf

On sait que tout chemin tracé de Zq à z' est équivalent à une combinaison de lacets, suivis de la ligne L (t. I, n® 227). Deux chemins équivalents donnent d'ailleurs la même valeur à l'intégrale (t. I, n» 199).

L'intégrale suivant le lacet L| se compose des intégrales suivant X|, suivant C| et suivant la ligne de retour X^'. Celleci est égale à la première, car leurs éléments correspondants sont les mêmes, ne différant l'un de l'autre que par un double changement de signe, celui de du^ et celui de y/Z produit par la rotation faite autour du point critique e^. D'ailleurs, si le rayon du cercle tend vers zéro, l'intégrale suivant Bs tendra vers zéro (256) et celle suivant X| vers une limite déterminée (254) que nous désignerons par A|.

36o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE YI.

Ce résultat est indépendant du sens dans lequel le lacet a été décrit; nous aurons donc

*/"i=^'*" *'ri=*'*-

On doit toutefois remarquer que si l'on avait décrit, avant le lacet considéré, d'autres lacets en nombre [x, cette opération aurait multiplié ^/Z par ( — i)P', de sorte que l'intégrale serait dans ce cas égale à ( — 1)1*2 A| .

Les intégrales suivant les lacets Lg, L~*, L3, L,* seront de même égales à

Enfin, la valeur de l'intégrale suivant L étant désignée par I, cette valeur deviendra égale à — I, si L a été précédé d'un nombre impair de lacets.

Les valeurs cherchées de u sont donc données par la formule générale

/Zi, ^2} riz étant des entiers positifs ou négatifs, dont la somme est égale à o ou à i , suivant que le nombre des lacets est pair ou impair.