Posons /ij = ma, /i2 = — mi,et

'' dz

La formule ci-dessus se décomposera dans les deux suivantes

« = 2/nitoj-f- 2/Wjto,-f- Ï4- «o>

£/ = amiWiH- 2Wj|(i)2-+- 2A3 — 1 4- Mq.

Donc z est une fonction elliptique d'ordre 2, aux périodes

2Ci>|, 20)2.

Ses pôles étant doubles, il n'y en aura qu'un dans chaque

parallélogramme. Pour déterminer leur situation, concevons

//que le point js' s'éloigne à Tinfini, et intégrons -77- le long

d'un contour fermé i^fig* 28) :

Fig. 23.

I® Par la ligne z^z^ \ 2° un cercle G de rayon infini passant par z\ décrit dans le sens rétrograde; 3° la ligne -g'^o ; 4° 'es lacets Lj, L|, L^. Ce contour ne renfermant pas de point critique, l'intégrale sera nulle.

L'intégrale suivant C est nulle (2S6). Mais, en décrivant ce cercle, qui entoure les trois points critiques, on a changé

le signe de y/Z. L'intégrale / sera donc égale à / ; les

intégrales suivant les lacets seront — 2 A3, + 2Aj, — 2A2. On aura donc

d'où

— Aj — A|-t- Aj.

Mais Uq+ I est l'une des valeurs de u qui correspondent à ^ = 00; donc W0 + A5 — A,H-Aa est l'un des pôles cher-

362 SpCONDB PARTIB. — CHAPITRE VI.

chés, et leur formule générale sera

« = 2/W,WiM- 2 7/l2(o,-f- Uq-^ Aj — Al -4- A5.

Donnons à la constanle u^ la valeur particulière |

— Aj-hAi — Aj,

z ne sera autre chose que la fonction pu construite snr 1^? périodes 2(01, 2(1)3, car ces deux fonctions ont les roême^ pôles, et leurs développements aux environs de chacun d'euï ont non seulement même partie infinie, mais même ternit: constant, à savoir zéro.

On aura d'ailleurs

P^l=^ly rWl=<?î, Pw,=:ej.

Posons, en effet, ^ = e< et prenons pour L la ligne )hi po«r laquelle I = A|. La formule

qui donne les valeurs correspondantes de u, deviendra

u = 2/??ito,-f- 9.rn^iû^ — A3-1- 2 Al — A|

=: 2m|0Ji-H iffi iitii-h 2Wj-|- to,,

et se réduira à (o< en prenant m^ = o, m^ = — 1 •

Pour 5 = ^2, I = Ao, nii = m^ = o, on aura de même

et pour :; = ^3, I = A3, nit = 7712 = — i, on aura

Il = W3.

338. Les constantes r^^, r^a, r^s peuvent être exprimées, comme les demi-périodes o)|, (02, Ws, par des intégrales définies. On a, en effet,

et, en intégrant de u à /< + 2C0|,

' pu du.

Posons

pu = Zf d'où du=:—^*

La différentielle à intégrer deviendra "^-j- ; on devra Finté-

grer suivant une ligne telle qu'en la parcourant u croisse de aw|. On pourra, par exemple, prendre le contour formé par Jes deux lacets L3, L^i, ou le contour équivalent K formé par la ligne e^e^ {fig* ^4), le cercle Cj, la ligne 6^62 et le cercle Cj.

Fig. 24.

Or les intégrales suivant les petits cercles sont nulles, et l'intégrale suivant e^e^ est égale à l'intégrale suivant e^e^. On a donc

r zdz

On peut calculer de même y\2, 7)3 ; donc

z dz

r'zdz

z dz

r"' z dz

Tout le système des quantités coi, (1)2, (Oj, 7|{, 7)3, 7)3 n'est défini qu'au signe près par les formules ci-dessus, car si l'on remplaçait y/Z© par son opposée — y/Zo, le radical y/Z changerait de signe tout le long des lignes d'intégration.

339. Les intégrales cD|, o)^, 0)3, t^i, t^2, t^s sont des fonctions continues de g^^ gi, tant que ces paramètres ne franchiront pas un système de valeurs tel que ^i, €2, ^3 soient en ligne droite.

On a, en effet, comme nous venons de le voir,

zdz

:zz '

rzd.

Jk Ji

et de même

rdz

Soit KJ un contour fermé enveloppant K, mais laissant le point e^ à son extérieur (fig* 25). Le radical y/Z étant sy-

nectique entre K et K', on pourra remplacer les intégrales suivant K par des intégrales suivant K^ Celles-ci, pouvant être dérivées sans difficulté par rapport à chacun des paramètres g2 et guy seront continues.