Théorème. — Les périodes 2«0j, 20)2, 210^ forment

un triangle principal; et les rapports — > — > — auront

leur partie imaginaire positii^e.

Cherchons, en effet, comment varie Fargument a du rapport

dz dz

Soit ao la valeur de cet argument au commencement du côté 62^3' Lorsque z décrit ce côté, les arguments de dz^

z — ^2, ^ — «3 ne changent pas. Celui de z — ei s'accroît de ei, angle au sommet ^i du triangle. Donc, sur le côté considéré, a décroîtra de ^o à âo — j^i .

L'intégrale coi étant la limite d'une somme d'éléments dont les arguments sont compris entre ces deux valeurs extrêmes, son argument sera compris dans le même intervalle (t. 1, n"* 184). On aura donc

argioi = ao — e, J e^, o < 6» < i .

Si maintenant z passe d'un élément infiniment voisin de e^ et silué SUT 62^3 à un autre élément infiniment voisin situé sur e^Ci (en restant dans l'intérieur du triangle), les arguments de z — ei , z — e^ n'auront pas varié 5 celui de ^ — e^

aura décru de et; enfin celui de dz sera accru de tc — ^3. L'argument a aura donc au début du côté e^e^ la valeur

Le long de ce côté, il décroîtra de ^ 63 ; on aura donc argiû, = aoH hOjiei, o<6, <i

et, par suite,

Cette expression est comprise entre - et t:. Donc — a sa

partie imaginaire positive. D'ailleurs, soit ABC le triangle formé sur AB= 2(0,, BC = 2(02, CA= 2(03. L'argument de

~ représente évidemment le supplément de l'angle inté-

rieur B. Celui-ci est donc aigu.

Comme on peut, dans le raisonnement ci-dessus, permuter circulairement les indices i, 2, 3, on voit que le triangle ABC est acutangle. C'est donc l'un des deux triangles principaux.

341. Quelques cas particuliers intéressants sont à signaler :

i^ Le triangle 61^2^3 ^^t infiniment aplati; et les trois points ^1, e2, e^ sont en ligne droite. Dans ce cas limite, le triangle ABC sera rectangle. (Si, pour fixer les idées, on

suppose Cz compris entre et et ea, les angles et et e^ seront nuls, et 2(1)2 perpendiculaire à 2(i)|.) En vertu de l'égalité

la droite ^1^363 passera par Torigine; soit X son argument: on pourra poser

eizz=E,(?'\ e,i=E,e'>^, e^z=zEie'\

E|, E2; E3, G2, G3 étant réels.

Puisque ei, ^2, ^3 sont les racines de l'équation

E|, E2, £3 seront les racines de l'équation

4 ^' — G^t — Gj = o,

Elles sont réelles ; donc on aura

GJ— 27G;>o, et l'invariant absolu

/^3 97 rrï G* 9-G*

sera réel et > i .

Cette dernière condition est suffisante pour caractériser

ce cas. Car, J étant réel, ^ le sera. On pourra donc poser

^, = G,e*'\ ^, = G,e?"\ G2 et Gs étant réels, puis

4 /* — G, ^ — Gj = o.

E|, E2, E3 seront les racines de Féquation

On a d'ailleurs

j Gl

quantité qui ne peut être >• i que si son dénominateur est positif. Donc E|, Ej, £3 seront réels, et les points et, ^2, es en ligne droite.

342. 2" Si J est réel, mais <[ i, GJ — 27 G'^ sera négatif, et Péquation en t aura une racine réelle E3 et deux racines imaginaires conjuguées

E,z= He'«, E^= Ue-'\ (H réel).

On aura donc

et, les quantités

e3-e,r=e'>'(E,-II^^«),

ayant le même module, le triangle ^{^2^3 sera isoscèle.

Réciproquement, si les deux côtés ^2^3, e^Ci sont égaux, leur bissectrice passera par Porigine, qui (en vertu de l'équalion ^ï -+- ^2 H- <?3 = o) est le centre de gravité du triangle. En désignant par)i son argument, on pourra mettre 61,^3, 63 sous la forme

ej = He'(^+«', et = He'(>^-«), e. = Eje'^,

H et E, étant réels. On en déduit

G' gi — ^te , ^3-^»^ , •'-GI-27G-

D'ailleurs, l'équation

4/ï — G,^ — Gjzno

ayant pour racines les quantités

dont une seule est réelle, on aura

GJ— 27GJ<o et J<i.

343. Ce cas peut encore être caractérisé par la condition que le triangle ABC des périodes soit isoscèle.

Soient, en effet, / la longueur commune des deux côtés ^3^1, 63^2, [A l'angle qu'ils forment avec la bissectrice; on

aura

ej = e, -h le^^'>^'^V-\ e, = e, -h le^^^-V'K

Posant donc

r intégrale

dz

*""i v/îû

deviendra

Si, dans l'intégrale

r''dz

nous posons de même

/ nous aurons une transformée identique, sauf le changement du signe de [jl.

Donc

e* toi et — e^ (Oj

seront des quantités conjuguées et auront même module. Donc I (0| I = I 0)2 1 et le triangle ABC est isoscèle.

Réciproquement, supposons qu'on ait |a)||=:|a>2|. Ap-

FONCTIONS ELUPTJQUES. 869

pelant — cette quantité, nous pourrons choisir deux nouv^elies quantités X et |x, telles que Ton ait

Substituons ces valeurs dans les expressions

il viendra

P^ ^ ( m j e'> + mj e-'> )*

Les sommes qui figurent dans ces expressions sont réelles, car les termes où /n^ = /Wa sont réels, et les autres sont conjugués deux à deux, si Ton associe ceux qui se déduisent l'un de l'autre en échangeant m^ avec ma. On aura donc

G2 et G3 étant réels. Donc J sera réel; mais il sera <^ i ; car, lorsque J^i, nous avons vu que ABC n'est pas isoscèle, mais rectangle.

344. Deux cas plus particuliers encore méritent d'être sl< gnalés.

3" Si J = I, d'où ^3 = o, l'équation

aura une racine nulle et deux racines égales et opposées. Le triangle 61^2^3 sera à la fois isoscèle et infiniment aplati, et le triangle ABC sera à la fois isoscèle et rectangle. 4** Si J = o, d'où ^2 = o, l'équation

J. — II. a4

370 SBCONDB PARTIE. — CaAPITRE YI.

se réduira à la forme binôme et Ton aura

mi kni

Les triangles e^ e^e^ et ABC seront équilatéraux.

Réciproquement, si ABC est équilatéral, g^ sera nui; on aura en efiet

Substituant cette valeur dans l'expression

gt

=^ih

elle se réduira, à un facteur commun près, à la somme

Or on a

\mie ' -4- m,/

ou, en posant — /Wf -f- /n2 = w, , — mi = m^,

Donc S = o et ^2 = o, J = o.

345. Il résulte de Texamen de ces cas particuliers qu'en général, si le triangle 61^2^3 ^ deux côtés inégaux ^2^9 ^^ ^3^1, les modules des périodes correspondantes acoi, 20)2 seront inégaux.

FONCTIONS KLLIPTIQUES. Sjl

Soît, pour fixer les idées, 62 e^ < <?3e, ; on aura

En eflet, si nous déformons le triangle e^ e^ €z d'une manière quelconque, de telle sorte que «2^3 reste ^^e^ei, la différence jacoa] — |2<0i|, ne pouvant s'annuler, conservera un signe constant. Pour reconnaître qu'elle est positive, il nous suffira de considérer un cas particulier. Soit, par exemple,

a et A étant positifs, et h infiniment petit. On aura

Z=:4(--2a)[(5-ha)«-A«],

r-"'^^dz r*" dz

Posons

z = — a -\- hC]

ces intégrales deviendront

r^' dt

3rt

dt

v/(— 3aH-//Ô(^'— 0

La première a ses éléments réels et son module a pour limite la quantité finie

^* dt

i \/iia{i—i^)

La seconde a ses éléments purement imaginaires et de même signe, et son module est plus grand que l'intégrale

r* dt

k désignant un nombre positif arbitraire, moindre que -j-*

Si nous supposons h infiniment petit, cette dernière intégrale aura pour limite la suivante

dt

laquelle tend vers 00 si A: croit indéfiniment. Donc 1 2 (1)3 1 aura pour limite 00, et Ton aura bien *

346. Une fonction elliptique/(M), aux périodes 2(i)|, 2(i>2 peut s'exprimer de trois manières différentes par les fonctions du^ ^Uy pu.

i^ Par un quotient de fonctions d. — Ce procédé demande qu'on ait déterminé les zéros et les pôles de/(u). Les zéros de pu formeront un certain nombre de classes, en réunissant ensemble ceux qui sont équivalents (d'après la définition du n°314). Soient nie nombre de ces classes; ai, «2» • • • 7 ^n des zéros déterminés choisis respectivement dans chacune d'elles. Nous supposerons que tous ces zéros sont simples; s'il y en avait de multiples, nous n'aurions qu'à poser a, ==a2 = '*« dans la formule que nous allons obtenir.

Les pôles formeront également n classes; nous en choisirons un dans chacune d'elles; nous obtiendrons ainsi n pôles

On a la relation

ai-ha^-h. . .-|-a„=r ^j 4- ^j -I- . . . -h ^«-i- période.

Car, si nous considérons un parallélogramme quelconque de périodes, il contiendra n zéros ai, ..., a,j et n pôles pii • • •? ^n entre lesquels existe une relation de ce genre et qui ne diffèrent respectivement de ai, . . . , a/z et 2»|, . . . , 6^ que par des périodes.

En remplaçant a„, par exemple, par un autre zéro de la

FONCTIONS ELLIPTIQUES. 3yZ

même classe convenablement choisi, on fera disparaître la période, de manière que Ton ail simplement

aj 4- . . . 4- a,t =: ^1 4- . . . -h ^i».

Cela posé, la fonction

c^{u — ai), . .a* (m — an) (Si^u — bi). . .^{u — bn)

a mêmes pôles et mêmes zéros que fu. Elle a d'ailleurs les mêmes périodes, car si l'on change u en w-f-2(o<, par exemple, elle se reproduit multipliée par le facteur

( I )n gîT),S (tt-a+w.) (-l)/te*n,2(i»-/>-»-a),) — '•

On aura donc

<25) J'''-^^iu^bi).,,:f(u^bS

G désignant une constante. Pour la déterminer, on donnera à u une valeur particulière, pour laquelle on exprimera que les deux membres sont égaux (ou ont même valeur principale, s'ils sont nuls ou infinis).

347. 2^ Par Ç et ses dérivées. — Soient a, 6, ... les pôles distincts que possède /a dans un parallélogramme des périodes (ou des pôles quelconques équivalents à ceux-ci). Soient respectivement)., [x, . . . leurs ordres de multiplicité^ enfin soient respectivement

Ax A,

Bjx Bj

les développements de f{u) aux environs de ces pôles; on

aura

C désignant une constante.

Soit en effet Yu le second membre de cette formule. Si l'on accroît 11 d'une période 20), 2^ e/ s'accroît de 271, et ses dérivées restent invariables; Fa s'accroît donc de

2T,(Ai-i-Bi-i-. ..).

Mais la somme des résidus A^ 4-B|4-- • • est nulle (318). Donc Fe^ est une fonction elliptique.

D'ailleurs Ç(m — à) n'a (aux périodes près) qu'un seul pôle a, aux environs duquel on a le développement

Î(W — ût) == h 9(W— rt),

Il — a

fD désignant une série de puissances entières et positives. On en déduit

ÇX-i/^^)— ^ ^ ^^^ — L. H-çA-i/;^^).

Les développements de Fu et de/u aux environs du pôle a ont donc même partie infinie. De même pour les autres pôles by .... Donc Fu — fu est une constante. En donnant à u une valeur particulière, on déterminera G de telle sorte que celte différence s'annule.

Cette décomposition d'une fonction elliptique en une somme d'éléments simples peut être assimilée à la décomposition des fractions rationnelles. Elle présente les mêmes

avantages au point de vue de l'intégration, car, ^ u étant la dérivée de logc^i^, tous les termes du second membre sont les dérivées de fonctions connues.

318. 3** Par pu et p'u. — Supposons d'abord que fu soit une fonction paire. Soient

— *i -H période, ±: a,-*- période,

ceux de ses zéros qui ne sont pas des périodes; )v|, Xj, ... leurs ordres de multiplicité. Soient de même

— ?!-+- période, d: pi -H période, . . .

ceux de ses pôles qui ne sont pas des périodes; [Xi, fjL2, ... leurs ordres de multiplicité. On aura

^ay; «^^ " ^ (p w - pp, )'*^(P" -P?.)»*'. •• '

C désignant une constante.

Soit, en effet, Fa le second membre de cette équation. Le

quotient ^ est une fonction elliptique qui n'admet ni zéro

ni pôle, en dehors des périodes. Mais une période ne peut être à la fois zéro et pôle. La fonction manquera donc de zéro ou de pôle, et se réduira à une constante. En donnant à u une valeur particulière, on déterminera C de telle sorte que cette constante se réduise à Tunité.

Supposons maintenantya quelconque; posons

d'où

(a8) fu=:t^u-^Oi II p' u.

Les deux fonctions <pa, f i </, étant évidemment paires,

pourront, d'après ce qui précède, s'exprimer rationnellement au moyen de pu.

349. Les formules essentielles de la théorie des fonctions du^ ^n, pu s'obtiennent avec la plus grande facilité en comparant entre eux les trois modes de représentation ci-dessus pour une même fonction elliptique.

Cherchons, par exemple, l'expression de p^u parles fonctions cy. La fonction p^u admet (aux périodes près) le pôle triple 2/ = o, et les zéros coi , (1)3, 0)3, dont la somme est nulle. Donc

Posons 1/ = o. Les deux membres auront pour valeurs principales

— 1 — C^ù), ^(Ji* s'a)*

et '- — = ,

donc

et

^{u — (1)1) a* (tt — Wj) a'(tt — (1)3)

^(ûi ^'toj 3*0)3 3** u

350. Cherchons l'expression de pu — pç. Cette fonction admet, aux périodes près, les deux pôles ± v et le zéro double o. Elle sera donc de la forme

^ ^ûi

L'identification des valeurs principales pour u infiniment petit donne

donc

a'(w-hr)a'(«— v)

(3o) pu — pv--^