On aridentité
Posons A. = pa,B = pb, C=z pCj T> = pd. Remplaçons les difTérences pa — pbj . . . par leurs valeurs données par la formule ci-dessus, et supprimons le dénominateur commun : nous obtiendrons V identité à trois termes
I(i(a-^b)^{a—b) (i{c -^ d)^{c — d) -H CCa-hc) ^{a — c) (^(d-^b)(i{d'^b) -\-^{a'hd)^{a — d)^{b-hc)^{b — c) = o.
352. Prenons la dérivée logarithmique de Téquation (3o), il viendra
pu — pv et, en échangeant u, (^,
(33) î^-^ = Ç( M -h t>) - ;( il - r) - 2 Çi>.
pu — pv
Ajoutons et divisons par 2,
(34) - ^— = C(w -+- 1') — C« — Çt'.
2 pu — p if
Dérivons encore,
(35) p(^u-hi^) — pu=— — - 't^ ^ —
' ^^ / <r du 2 pu — pi'
Effectuons la dérivée, et remplaçons p'^Uj p^u par leurs valeurs en pUy nous obtiendrons l'expression de p(a-l- p) en fonction rationnelle de pu,p'u, pv^ pV. La dérivation donnera une expression du même genre pour p\u + v). C'est en ce résultat que consiste le théorème de V addition des arguments pour la fonction pu.
On peut donner à la formule d'addition une forme plus élégante. A cet effet, décomposons en éléments simples la
foDCtioD
Elle a deux pôles doubles, o et — p. Pour u = o, on a
[Ç(ttH-p)- i;«-C(;]«=^~i +aÇ' ('+... y==-j, -art' -^••.
Pour M = — i^
u -hv 3 •
— ï w — Çç; =: î[i^ — (a -H i')] — îi' = — (w 4- <')ï'<' -h. . . ,
[C(" + t') — U — ÎJ'l'^ , — ^—^T — aî'i' -h. . .. *■ ^ -* (w-+-r)*
On aura donc
[C(m -ht')- ï/^ - c^o' =- î'(" + 1') - ?:'« -+■ c.
Pour déterminer la constante G, égalons les termes indépendants de u dans le développement suivant les puissances de u; il viendra
et, comme on a ^'^z = — pu, . . . , on aura la formule d'addition sous la forme classique
(36) j,(«+.')4-pa+p»^i(p'^^~^'jy.
La formule deviendra tout à fait symétrique par Tintroduction d'un troisième argument tv, défini par la relation
Le premier membre deviendra pwp-Hpa + pp, et sera symétrique en u, (^, pp, ainsi que la relation entre ces va-
îables. On aura donc
pM-hpp-hJ)iV
4\p« — p<v 4\p^' — pw'/
4 \piv^pu )
;t, en extrayant la racine carrée,
pu — pv
Pour s'assurer que le signe des racines a été correctement choisi, il suffit de remarquer que deux quelconques de ces quantités ont même valeur principale, lorsque l'argument qui leur est commun tend vers zéro.
353. Faisons tendre (^ vers u dans la formule (36); elle devient
(Sq) p2U -+-2 DM — y 'i--- Z= j r —^ i-^
Une dérivation donnera p' 2 £/. Posant ensuite successivement V = 2Uj 3u^ • • . , on obtiendrait des formules pour la multiplication de l'argument. Nous y parviendrons tout à l'heure par une voie plus facile.
354. La formule (3o) peut être généralisée comme il suit : Soient iii^ U2, • • , Unj n arguments indépendants; considérons le déterminant
.. pf-^Uii
p'Ui ..
P'Un .
.. pf-'la;,
Considéré comme fonction de Un^ D„ admet (aux périodes près) un seul pôle, o, de multiplicité n, aux environs duquel
38o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE TI.
sa valeur principale est
D,j i désignant le mineur relatif au dernier terme p^^'^^M/j. On connaît, d'autre part, n — i zéros, u^, ..., u„\, La somme des zéros étant égale à celle des pôles, qui est nulle, le dernier zéro sera — («/i -h Wj-I- . . . + «/i-0« Donc D^ sera proportionnel à
Pour Un infiniment petit, cette dernière expression a pour valeur principale
(— i)'*-*(3'm, s'il,. . .(3'tt;,,(3'(Mj-+- tt, -4-... -+-!/„-,)
ce qui permet de déterminer le facteur de proportionnalité. On trouve ainsi
" o'w,...3'a„ja'(ai-h...-|-a;,i) (^'•tt„
Changeons «en n — i , /i — 2, • . . , 2 et multiplions les égalités obtenues. Il viendra
^ ' " a'«Wiîy'»w,...3"»M;» \A: = i,2, ...,«-1/
A désignant la constante (— i)""* {n — i)! (/i — 2)! . . . 2! 355. Posons dans cette égalité
^2) • • M ^n étant des infiniment petits.
Le coefficient du terme en A2A3. . •AJJ"* dans le développement du premier membre sera évidemment
pu p'u p'u
. pf«-«)i
p(ïi»-3)^
Dans le développement du second membre, les termes de moindre degré par rapport à Ao, . . . , An seront ceux du produit
et celui que nous cherchons a pour coefficient
(jnu
En posant, pour abréger,
B=:(— i)«->[2!3î...(/i — i)Ip
et (42)
^nl^ =
^nu
on aura donc (pour n entier positif) la relation
^nU —
pC!-»)^
p(«-l)tt
pf««-»)w
3S6. On voit par cette expression que si n est entier po-
sitif, i/nU est une fonction elliptique. Cette propriété subsistera pour n entier négatif, car on a évidemment
Il est aisé de la démontrer directement. Changeons, ea eifety u en i^-h2Ci), aco désignant une période primitive; dnu sera changé en
et {du)"* en
D^ailleurs n^ ^ /imod2. Donc le quotient <J/« ne sera pas changé.
357. La fonction ^n n'a (aux périodes près) qu'un seul pôle, w = o, d'ordre n^ — i; elle est paire si n est impair, impaire si n est pair. On aura donc
pour n impair <};,, = Pj,
(44) { pour n pair ^n = PiP'",
dans tous les cas ... ^l=:P,
Pi, P2, P désignant des polynômes en pa, d'ordre — -
9 n^ — I respectivement,
Soient donc
ni — l nt i
Pi = «P * +aiP * -4-...,
P, = pp « +P,p « H-...,
Les coefficients a, a^, ... ; p, Pm . . . ; y? Y<' ' • • pourront s'obtenir par la méthode des coefficients indéterminés, en identifiant les deux membres des équations (44) développés
FONCTIONS BLLIPTIQUBS* 383
suivant les puissances de u au mojen des formules
(^U = a(l + rfiM*-|-. . .),
On obtient ainsi une suite d'équations linéaires qui déterminent successivement les coefficients inconnus. Ces équations ont pour coefficients des polynômes entiers en c^^ C2y • . . , ef|, efs) • • • qui sont eux-mêmes des polynômes entiers en ^2, g^. D'ailleurs chacun des coefficients est afiectë dans Téquation qui le détermine d'un coefficient purement numérique (i pour les coefficients a, ai, ..., y, y,, •..; — 2 pour 3, pi, ...). Tous ces coefficients sont donc des polynômes entiers en g2, ^s* D'ailleurs le premier est purement numérique et le second est nul. Car l'identification des deux premiers termes donne, pour les déterminer, les équations
Zlzna, /i HZ — 2p, n^zzz^j
O ma,, o = — 2pi, O =Yi-
358. Il est aisé d'opérer la décomposition en facteurs des polynômes P,, P2, P.
En effet, le numérateur <inu de ^^^ admet un zéro simple en tous les points pour lesquels nu est une période; mais ceux de ces points pour lesquels u est lui-même une période sont des zéros d'ordre n^ pour le dénominateur. Donc ^;,{^ aura (aux périodes près) les n^ — i zéros
2mica, + 2msti>2
^19 ^a parcourant chacun la suite des valeurs de o à n — i, le système mi = /Wa = o excepté.
I** Si /i est impair, les n^ — i systèmes restants peuvent se répartir en couples (m\f m^), (m*, ml), liés parles relations
m\-\- ml^Oy /Tîjj-hm", ^ o (mod/i),
d'où Ton déduit
2 — ::::2 — i = — -+• période.
Choisissons à volonté dans chaque couple un des deux systèmes cjui le composent, tel que (m\,m.^)j en excluant l'autre; nous aurons
I D TT / 2»»',(0,+ 2Wj',ù>,\
car les deux membres ont les mêmes zéros
w = ±: h période,
les mêmes pôles, d'ordre n^ — i,
u = période,
et la même valeur principale pour u = o.
2° Si n est pair, on devra mettre à part les trois systèmes
Va* ^^j' i"' âj' U' îj' PO»'- lesquels — L__ sere-
duit respectivement à W| , ci), et à (0| + 0)2= — «03= Wj + p^'* riode. Les n^ — 4 systèmes restants se répartissent, comme tout à l'heure, en couples (/n',, m'J, (m,, m*); et, si Ton remarque que p' u a pour zéros les points w,, <i>,, co, et pour
pôle le point w = o avec la valeur principale — ^> on aura
ffa\ \ n t ^T~T f 2/?î'a>,-h 2m' wA , (46) 4^n = P,p'w---J[|(^pM-p '-^^ ^-^Ij^
Les formules précédentes subsistent si l'on y remplace chaque système (m'^, m'.,) par son associé (m*, mJJ). Mulli-
pliant les deux expressions de ifnU ainsi obtenues, et remarquant d*ailleurs que l'on a
j)'«M = 4(pa — pcDi) (ptt — j)(i),) [p« — J^(«»>i -h (0,)], il viendra dans tous les cas
(47) <i'; = p = «'Jj(p«-j)
359. Les polynômes P4, P2, Payant, comme nous l'avons vu, leurs coefficients entiers en gx^ ^3, les fonctions symétriques entières (ou les fonctions symétriques rationnelles)
, . , 2 m', w, -f-2m' 0), . 1 T^ in
des quantités p — > racines de F4 ou de Fj, et
Il 1 • f *>. /Wi W| -}- 2/Wj w, . 1 T» ï
celles des quantités p > racines de 1 , s exprimeront par des polynômes entiers (par des fractions rationnelles) en g2, 5^3.
Les polynômes P|, P.^, P manquant de second terme, on aura en particulier
