On a, d'après la formule (3o

^{n -h m) u :j(n — m)u pnu — pmu ^= ; — •

Remplaçons ^nuy . . . par leurs valeurs <{^,|W(<^w)"*, . . ., iii disparaît et il reste

(.19) pn^^ - Pfnu — -j-^^

m ni

De l'identité

{plu — pmu) -h (pmu —pnu) 4- {pnu —plu) — o, on déduira

^f^ln ^JnK ^l\}

OU, en chassant les dénominateurs,

Posant en particulier /==i, m = /H- 1 et remarquant qu^on a A, = i , 6„ = — <{^;,, on trouvera

Posons encore /=i, m==n + i, mais changeons /i en n — I et remarquons que ^2 = — p'^î *! vient

Ces formules récurrentes sont commodes pour le calcul des fonctions ^.

Posons enfin m = 1 dans la formule (49) ; il viendra

(d3) pnu — pu — -^ ,

ce qui donne pnu en fonction rationnelle de pu; car p'e/ ne figure au second membre que par son carré (au dénominateur ou au numérateur, suivant que n est pair ou impair).