On obtient de nouvelles formules de multiplication

en décomposant pnu en éléments simples.

Les pôles de cette fonction sont (aux périodes près) le

, . , 2/711 to, -4- am-o), .

point o et les points j que nous représenie-

rons d'une manière plus abrégée par —«Posons u = h

u = }- h^ h étant infiniment petit; on aura

La formule générale de décomposition donnera donc

PONGTIORS BLUPTIQUBS. 887

LMdentification des termes constants dans le développement suivant les puissances de u donnera

l'ii

Intégrons : il viendra

/i Uw — ;« + y C (« — ^^) - C M -4- C,

et Tidentification des termes constants donnera

yçîi'+c'=.o.

D^autre part, si nous changeons u en i/+ 2(i>i, nu s^accroissant de 2/i(i)i, le premier membre s^accroîlra de/?.2/iy;,

et le second de /i^27|, — atOïC; donc C = — x «P^ ®^^ ^"'' résultat déjà trouvé par une autre voie (359). Intégrons encore, nous trouverons

loges' /iw rrlog^w 4- \ ïo%^lu j -4-C'm -hconst.,

Identifions les valeurs principales pour w = o; il viendra

"=c-nK-ï)-

Enfin, si u s'accroît de 20)0 nu àe intùxy (inu sera multiplié par

ei le second membre par

388 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Yl.

Nous aurons donc en identifiant et de même

Sir

|jLi et [JL2 étant des entiers. En se rappelant que on en déduit

Mais on a, d'autre part, ^ (ï^ ^ a/7i,a),-h 2/w,a), ^ amicoi V^ a/w.w*

nin — \) ,

^ZL -^ (2(0,-1- 2t0, ) = — /i(/J — l) W,.

Donc

et l'on a les formules

(54) n^pnu = pu-{^yp(u^y-y

(55) n^nu = C^/ -h \ U " j — «(/^ — O^a»