IV. — Les fonctions (^a^t ^^ol

364. Soient 2(i)|, 20)2, 20)3 un triangle quelconque de périodes primitives de pi^; posons, comme précédemment,

ptû^—.Ci, P^t—^ty P^z^ei,

et représentons par a, p, y les indices i, 2, 3 écrits dans un ordre quelconque.

Dans la formule (3o) de la section précédente, posons r z= Wqj: il viendra

Mais

d'où

Le radical y/p u — Ca est donc une fonction uniforme de u. Celle de ses déterminations que fournit l'équation précédente est celle qui, pour {£ = 0, a, comme le second membre,

la valeur principale

365. Changeons dans la formule (1) w en m 4- w^; elle devient

p ( 1/ -f- cog) — Cot = e-*^»^"-^*^.

Multipliant par l'équation (i) et posant, pour abréger,

(3) e-î^a<««o'a)a=Ua, il viendra

(4) [p(M H- co«) - ea] (pw — e») — ^,

et, pour la valeur particulière u = (Oy,

Posons encore dans l'équation (1) m = wp; on aura

a'a)p3^*a)a USUJ

Mais on a

*^a -+- Wp -h <«>y = O, 7j3t -f- Yip + Yiy in O.

392 SBCONDB PARTIE. — CHAPITRE YI.

L'exposant de e sera donc égal à

[*P] = [?Y] = ViA = - [?«] = - [T?] = - [«y] élant égal à +1 ou à — j, selon que les périodes awa, swp, 20)^ se

suivent dans le sens direct ou dans le sens rétrograde autour

du triangle des périodes.

On aura donc

Permutons circulairement les indices a, ^, y ^^ ajoutons les équations ainsi obtenues; il viendra

(7) Uà+U^4-U^=:0.

D'autre part, la somme ^i 4-^2-4- ^3 élant nulle, on aura et, par suite,

366. Soit 2(1),, 2w!j, 2(1)3 un nouveau triangle de périodes primitives : posons

Les quantités e, , e'j, e'j reproduiront à l'ordre près les quantités Ci, Cj, ^3,* car les unes et les autres sont les racines de l'équation

Désignons par itù^ celle des nouvelles périodes pour laquelle on a

posons

PONCTIONS ELUPTIQUKS. 3^3

et désignons enfin par [a^]' une unité positive ou négative, selon que les périodes 2(o|x, ^^'^j ^^'y se suivent dans le' sens direct ou dans le sens rétrograde autour du nouveau triangle. Toutes les formules précédentes subsisteront évidemment si Ton y accentue les quantités

On aura en particulier, d'après la formule (5),

tT/T = (^P — «a) (^r — ^a) = ÏTT '

Donc U'ût ne diffère de Ua que par un facteur, racine quatrième de l'unité.

La liaison entre les deux systèmes de périodes considérés étant supposée donnée, ce facteur se détermine aisément. Soit, en effet,

l'expression de 2wâ en fonction de 2a>fli, 2 top. Puisque, par hypothèse, on a

co^ — ti>a sera une période*, donc nia sera un nombre impair, tel que 2na-|- i, et /W3 un nombre pair, tel que 2/ip. Posons, pour abréger,

eu = /ijjCOQt-H «pwp, nous aurons

IJa=^ ' rf((i>a-l- 2(0)

Or on a

T^i^a— T^*aw = /l?(7ipa)a— T,awp)=:— /ip[ap]---,

(roù Texpression du facteur cherché

367. Supposons la fonction p{u) définie non plus par ses périodes, mais par ses invariants g^^ g^ et proposons-nous de déterminer les quantités U en partant de ces données.

Soient ^i, es, e^ les racines de Péquation

numérotées de telle sorte que ei, e^', e^ se succèdent dans le sens direct autour du triangle ei^s^s. Nous avons obtenu (337) un système de périodes principales 2Ci)|, aco^, aws. définies par les intégrales

r''dz r^'dz r'^dz

et telles que Ton ait

J)(Oi=i=ej, pWjrziej, J)W8=:C,.

Les 7| correspondants sont donnés par les intégrales analogues

/•'• z dz

et les U correspondants par les formules

v/(ej— ei)(e3— e,)

Mais ces dernières formules renferment des radicaux; il en résulte une ambiguïté que nous allons lever en déterminant avec précision la valeur des arguments de U|, U2; Is-

FONCTIONS ELLIPTIQUES. SgS

368. Désignons par e^ , 62, e^ les angles du triangle e\ €2 e^ ; par ^ l*angle du côté ^2^3 avec l'axe des x\ on aura

arg(e,— ^,) = ç

arg(e,— ^,) = o-f-Tt

arg(e,--ei)^cp — e,

arg(ei— e,)=H<p-+-e,

mod2'n,

argUi

-et

argU,

modaiT,

A| , X2, X3 étant des entiers à déterminer.

Or, si l'on fait varier g2 et ^3, les racines e«, «2, ^3 et les intégrales (Oi, (1)2, (Os, 7)1, 7|2, y\z variant d'une manière continue, il en sera de même des deux membres des égalités (10). Les entiers X|, X2, X3 conserveront donc une valeur constante, et il suffira de les déterminer dans un cas particulier.

Supposons Cl , €2, ^3 réels, et ^2 < ^3 <C <?< • On aura

d'où

argUi=:)vi^, argU,=:Xj^.

Déterminons directement ces arguments. Le radical y/Z étant réel entre 62 et e^, imaginaire entre e^ et ^i, (a)|, t^i seront réels et <ù2, 7)2 purement imaginaires* Leur signe dépend de la détermination qu'on voudra adopter pour le

radical; prenons, pour fixer les idées, (1)1 positif; cos sera

une imaginaire positive; e ^ ? ^ seront réels et

positifs.

Il en est de même pour — î- et — ^' On a, en effet, par

définition

(l>, tOf

Or, les facteurs pour lesquels 7712= o sont réels et positifs; et les autres sont conjugués deux à deux, en associant ceux pour lesquels m\ a la même valeur et ma des valeurs opposées.

De même, dans — -y les facteurs où /ni = o sont réels et

positifs, et les autres conjugués deux à deux. On aura donc

argU,^argtoi = o, argU,= argw,— -

et, par suite,

Xi=zr o, Xjzz: I .

Pour déterminer X3, nous remarquerons qu'on a généralement

argU,~argU,= ?i^-F(X,-X0j.

Supposons e«, ^2* ^3 réels et tels que l'on ait e3< ^i < ^21

62 et ^3 seront nuls, et l'on aura simplement

argU,— argU,= (X,— Xj)^-

Mais dans ce cas (O2 est réel, (O3 purement imaginaire, et l'on a

argUs— argUjzrargWj— argci),— ^; donc

et l*on a définitivement

argU. = -.t ^ ,

argUj— — -i- -h -7= + TT.

Ayant déterminé ainsi sans ambiguïté les quantités U|, Ua, U3 correspondantes aux périodes principales, on en déduira par la formule (9) la valeur de U^ pour une autre période quelconque w^.

369. Considérons, conjointement avec la fonction ^{u), les trois fonctions

Elles se réduisent à Tunité pour u = o. En outre, elles sont paires, car on a

= 3'aW.